数论中的程序设计-培训课件.pptVIP

中国剩余定理—程序实现 long ChinaRemainder(int m0[], int b[]){ long d,x,y,n,m=1,a=0; int i; for (i=1; i= n ; i++) m=m*m0[i]; for (i=1; i= n ; i++) { MM=m / m0[i]; extend_gcd(MM, m0[i], x, y); //或x=mod_reverse(M, m0[i]); a=(a+m0[i]*x*b[i]) % m; } return a; } 6. 模幂运算与素数测试 模幂运算就是在一个模下计算一个幂的值，即计算 (a，r和m是正整数) 素数测试就是指，在尽可能短的时间内，尽可能精确地判断一个整数是否是素数。通过费马小定理来判定一个整数的素性，因此求模幂是重要任务。 6.1 模幂运算 （1）模幂运算1—累次计算法： d＝ ar mod m ＝(…((((a mod m)*a) mod m)*a)mod m…*a)mod m 算法 long modular_power1(long a, long r, long m){ long d=1, k; a=a % m; for(k=0；kr; k++）d =(a*d) % m; return d; } 6.1 模幂运算 （2）模幂运算2—快速计算法 将r化为二进制数的形式( bkbk-1…b2b1b0)，然后反复平方取余数。然后从最低位开始，自右至左逐位扫描。每次迭代时．用到下面两个恒等式中的； 模取幂运算—快速计算实现 long modular_power1(long a, long r,long m){ long d,t; d=1;t=a; while (r0){ if ((r%2)==1) d=(d*t) % m； r=r/2; t=t*t % m; } return d; } 练习 计算 6.2 素数测试 费马小定理：设a，p为正整数，且p为素数，(p, a)=1， 那么 有例外，如2340 ? 1（mod 341），但341是合数。 素数测试：设a、n为正整数 （1）若 ，则n一定为合数 （2）若 ，则几乎可以肯定地确认n为素数，因出错概率很小 Miller-Rabin素数测试算法框架 输入：n与a（a在2，…，n-1这些数中随机取值） 输出：true或false S1. 设(bk,bk-1,…,b1,b0)为n-1的二进制表示 S2. d =1 S3. For i=k downto 0 do x=d d= (d*d) mod n if ((d=1) and (x?1) and (x?n-1)) then return true if (bi=1) then d= (d*a)(mod n) End For S4. if (d ? 1) then return true S5. return false 7. 欧拉定理与费马小定理 设a和m 是整数，（m0）。记?(m)是1到m的整数中与m互素的整数的个数，则a?(m) ≡1 (mod m)。 费马小定理： 设a是整数，p为素数,则ap-1 ≡1 (mod p)。 是欧拉定理的特例 8. 公钥密码与RSA 公开密钥算法是在1976年由美国斯坦福大学的迪菲（Diffie）和赫尔曼(Hellman)提出 目前最流行的RSA是1977年由MIT教授Rivest, Shamir和Adleman三人共同开发。 密钥的产生 选择两个大素数，p 和q ，计算出n=qp，n称为RSA算法的模数。 n公开，p、q 必须必威体育官网网址。n的长度大于1024位 计算n的欧拉数 ?(n)=(p-1)(q-1) 。 随机选择加密密钥e，从[0, ?(n)-1]中选择一个与?(n)互质的数e，e公开 计算解密密钥d, 满足de≡1(mod ?(n))。其中n和d也要互质。数e和n做公钥，d做私钥。 两个素数p和q不再需要，应该丢弃，不让任何人知道。 加密与解密 加密信息 m（二进制表示）：首先把m分成等长数据块 m1,m2,...,mi，块长s，其中 2s = n, s 尽可能的大。 对每块加密，对应的密文是： ( a ) 解密计算： ( b ) RSA 可用于数字