数论期末复习【重点解析】.pptVIP

期末复习 二元一次不定方程 有解的充分必要条件: 求特解(方法?):辗转相除法, 分离整数法. 通解(公式?): 先求得一个特解 (x0, y0), 三元一次不定方程 整系数方程 ax＋by＋cz＝d 叫做三元一次不定方程，这里a，b，c，d都是整数，其中a，b，c都不为零. 由于三元一次不定方程的x，y，z可以取正整数或负整数，因此在研究三元一次不定方程时，我们只须讨论a，b，c，d都是正整数的情况． 解的存在性 定理 三元一次不定方程 ax＋by＋cz＝d (2．4) 有整数解的必要且充分条件是 D | d， 这里D＝(a，b，c)，a,b,c,d都是正整数． 例1 若k为整数,且10≤k≤30，试问k取何值时，下列不定方程无整数解kx ＋ ky ＋ 91z＝100． 解 (k，k，91)＝(k，91)，由于91＝13×7，100不能被7或13整除，所以当是＝14，21，28时，(k，91) ＝7，这时方程无整数解； 同理，当k＝13或26时，(k，91) ＝13，这时方程也无整数解； 因此，当k＝13，14，2l，26，28时，原不定方程无整数解． 例2 求不定方程6x+14y＋32z＝80的整数解． 解1 因为(6，14，32)＝2，2 | 80，所以原不定方程有整数解，将原方程化简，得 3x+7y＋16z＝40． …① 设3x+7y＝t，利用观察法或辗转相除法可知x＝－2，y＝1是不定方程3x＋7y＝1的一个整数解，因此3x+7y＝t的通解为 …② …③ 由②，③可得原不定方程的通解为 例3 求不定方程2x+4y－5z＝3的整数解． 解 由于 (2，4，5) | 3，因此原方程有整数解．考虑到原方程中x，y的系数的最大公约数(2，4)＝2，因此应该令2x+4y＝2t，即x+2y＝t，这个不定方程的通解为 把2x+4y＝2t代入原方程，得 例4 有三个自然数，其中一数是2的倍数，一数为3的倍数，一数为7的倍数，它们的和为23，试求这三个数． 解 设三个自然数分别为2x，3y与7Z，由题意，得 2x+3y+7z＝23， 根据题目要求，应该求这个三元一次不定方程的正整数解。在x，y，z的三个系数中，z的系数最大．因为x，y至少取1，所以z的取值范围是 逐次尝试 由上可知 z 的可能取值是1和 2. 当z=1时,原方程化为2x+3y=16,解之得正整数解: 勾股数 形如x2+y2=z2的不定方程的整数解问题，我们将这种方程叫做商高或毕达哥拉斯不定方程。满足上述不定方程的一组正整数x, y, z叫做一组勾股数. 关于勾股数的定理 定理 2.5 不定方程 x2+y2=z2 (2.6)的适合条件x0 ，y0，z0，(x ，y)=1，x是偶数的一切正整数解均可以表示成 x=2ab ，y=a2－b2，z=a2＋b2 ， ① 其中ab0， (a, b)=1, 并且a, b一为奇数，一为偶数。 例1.求下列不定方程的正整数解: 不等式法求不定方程的整数解，就是根据不定方程特点，列出不等式，通过解不等式，得到不定方程中各个未知数的取值范围，由此求得未知数在取值范围内的整数值，从而得到不定方程的整数解． 教材例2.26 求不定方程(x－y)2+2y2=27的非负整数解. 解 由原不定方程得 (x—y)2=27－2y2． 因为(x－y)2≥0，所以27—2y2≥0，因此y的取值范围是 0≤y≤3 当y=0时，27－2y2=27;当y=1时，27－2y2=25; 当y=2时，27－2y2＝19;当y=3时，27－2y2=9． 因为27