欧几里得与《几何原本》精编.pptVIP

欧几里得与《几何原本》 欧几里得(Euclid，约公元前330—275)伟大的数学家、教育家。 欧几里得使几何脱离哲学而独立成为真正的演绎科学。 下列人物，在他們的生平事跡中，有甚麼共通之處？ 下列人物，在他們的生平事跡中，有甚麼共通之處？ 原來他們在年青的時候，都曾經閱讀過一本數學經典鉅著：《幾何原本》。 欧几里得与《几何原本》 公理化体系： 23个定义，5个公设、5个公理465个定理 《几何原本》仅次于《圣经》，大约成为西方世界历史中翻版和研究最广的书。（斯威克 ） 《幾何原本》的背景 《幾何原本》 的內容 全書共分 13 卷，包括： 5 條公設、5 條公理 119 個定義 465 條命題 《幾何原本》的內容 第一卷　幾何基礎篇 重要命題舉例 命題 I.47　在直角三角形中，直角所對的邊上的正方形面積等於夾於直角兩邊上正方形面積之和。 证明 重要命題舉例 命題 II.12　在鈍角三角形中，鈍角所對的邊上的正方形比夾鈍角的二邊上的正方形的和大一個矩形的二倍。即由一銳角向對邊的延長線作垂線，垂足到鈍角之間一段與另一邊所構成的矩形。 重要命題舉例 命題 III.20　在一個圓內，同弧上的圓心角等於圓周角的二倍。 重要命題舉例 命題 IX.20　預先任意給定幾個質數，則有比它們更多的質數。 重要命題舉例 命題 IX.20　預先任意給定幾個質數，則有比它們更多的質數。 註：這命題指出質數有無窮多個！ 公理系統 雞先？蛋先？ 公　設 1. 由任意一點到任意一點可以作直線。 公　設 2. 一條有限直線可以繼續延長。 公　設 3. 以任意的點為圓心及任意的線段為距離可以畫圓。 公　設 4. 凡直角皆相等。 公　設 5. 同平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在直線某一側的兩個內角之和小於二直角，則這兩條直線經無限延長後在這一側相交。 公　理 1. 等於同量的量彼此相等。 即當 a = c，b = c 時，a = b。 2. 等量加等量，其和仍相等。 即當 a = b，c = d 時，a + c = b + d。 3. 等量減等量，其差仍相等。 即當 a = b，c = d 時，a ? c = b ? d。 4. 彼此能夠重合的物體是全等的。 5. 整體大於部分。 第一卷中主要命題的關係 第一卷中的定義 1. 點是沒有部分的。 * 阿基米德（Archimedes; 287 B.C. ? 212 B.C.） 清聖祖 康熙（1654 ? 1722） 高斯（Gauss; 1777 - 1855） 林肯 （Lincoln; 1809 ? 1865） 羅素（Russell; 1872 ? 1970） 「如果歐幾里得未能激起你少年時代的熱情，那麼你就不是一個天才的科學家了。」 ～～愛因斯坦 《几何原本》（Elements）是世界数学史上最伟大的著作之一 。 重视数学命题的逻辑证明，力求把数学知识建立在必然性的理论基础上，追求严密的公理化体系 公元前 600 年 公元前 500 年 公元前 400 年 公元前 300 年 公元前 200 年 畢達哥拉斯（證明「畢氏定理」及發現不可公度量） 歐多克索斯（創立比例論、計算錐體體積） 泰勒斯（開始了命題證明） 柏拉圖（成立「柏拉圖學園」） 歐幾里得（撰寫《幾何原本》） 阿基米德（計算圓周率、球體體積等） 第二卷　幾何代數 第三及第四卷　圓形及正多邊形 第五卷　比例論 第六卷　相似圖形 第七、八、九卷　數論 第十卷　不可公度量 第十一至第十三卷　立體幾何 註： 這亦即是著名的「畢氏定理」。 ? a2 + b2 = c2 a2 b2 c2 → → ↙ 註：命題 II.12 就是現時常用的「餘弦公式」。 c a a b d c2 ? (a2 + b2) = 2 ? ad 即 c2 = a2 + b2 + 2ad 命題 IV.4　求作已知三角形的內切圓。 命題 IV.5　求作已知三角形的外接圓。 命題 IV.11　求作已知圓內接等邊且等角的五邊形。 證明 假設質數祇有有限多個。 由此可設最大質數為 P。 定義 Q = 2 ? 3 ? 5 ? 7 ? … ? P + 1 明顯，將 Q 除以任何質數都餘 1， 所以 Q 亦應是質數。 因此，Q 是一個比 P 還要大的質數！ 這是不可能的 !!! 所以質數有無窮多個。（證完） 命題 XII.10　圓錐是與它同底等高的圓柱的三分之一。 B A C D P Q R S ?ADC = ?PSQ a b a + b 180? ?1 ?2 ? 公設、公理 SAS SSS 外角定理 ASA AAS 三角不等式 平行線存在 平行線性質 ? 和平行四邊形面積關係 ? 內角和 畢氏定理 畢氏定理逆定理 2