向量空间、本征值和相似变换.ppt

§4.5 向量空间 §5.1 向量的内积、长度及正交性 §5.2 方阵的特征值与特征向量 §5.3 相似矩阵 §5.4 对称矩阵的对角化 上页 下页 铃 结束 返回 首页 向量空间的定义 设V为n维向量的集合? 如果集合V非空? 且集合V对于加法及乘数两种运算封闭? 那么就称集合V为向量空间? 所谓封闭? 是指在集合V中可以进行加法及乘数两种运算? 具体地说就是? 若a?V? b?V? 则a?b?V? 若a?V? ??R? 则?a?V ? 上页 下页 铃 结束 返回 首页 向量空间基、维数 设V为向量空间? 如果r个向量a1? a2? ???? ar?V? 且满足 (1) a1? a2? ???? ar线性无关? (2)V中任一向量都可由a1? a2? ???? ar线性表示? 那么? 向量组a1? a2? ???? ar就称为向量空间V的一个基? r称为向量空间V的维数? 并称V为r维向量空间? 如果向量空间V没有基? 那么V的维数为0? 0维向量空间只含一个向量0? 若把向量空间V看作向量组? 则向量空间V的基就是向量组的最大无关组? 向量空间V的维数就是向量组的秩? 下页 向量的维数和向量空间的维数 向量的坐标 如果在向量空间V中取定一个基a1? a2? ???? ar? 那么V中任一向量x可唯一地表示为 x??1a1??2a2? ??? ? ?rar? 数组?1? ?2? ???? ?r称为向量x在基a1? a2? ???? ar中的坐标? 在向量空间Rn中以单位坐标向量组e1? e2? ???? en为基? 则以向量x?(x1? x2? ???? xn)T可表示为 x?x1e1?x2e2? ??? ?xnen? 可见向量在基e1? e2? ???? en中的坐标就是该向量的分量? 向量组e1? e2? ???? en叫做Rn中的自然基? 下页 从旧基到新基的过渡矩阵，以及坐标变换 上页 下页 铃 结束 返回 首页 向量的内积 设有n维向量x?(x1? x2? ? ? ?? xn)T? y?(y1? y2? ? ? ?? yn)T? 令 [x? y]?x1y1?x2y2? ? ? ? ?xnyn? [x? y]称为向量x与y的内积? 性质： (1)[x? y]?[y? x]? (2)[?x? y]??[x? y]? (3)[x?y? z]?[x? z]?[y? z]? (4)当x?0时? [x? x]?0? 当x?0时? [x? x]?0? (5)[x? y]2?[x? x][y? y]? ——施瓦茨不等式? 向量的长度 令 ||x||称为n维向量x的长度(或范数)? 向量的长度的性质 设x? y为n维向量? ?为实数? 则 (1)非负性? 当x?0时? ||x||?0? 当x?0时? ||x||?0? (2)齐次性? ||?x||?|?|||x||? (3)三角不等式? ||x?y||?||x||?||y||? 下页 向量间的夹角 称为n维向量x与y的夹角? 当x?0? y?0时? 当[x? y]?0时? 称向量x与y正交? 显然? 若x?0? 则x与任何向量都正交? 定理1 若n维向量a1? a2? ? ? ?? ar是一组两两正交的非零向量? 则a1? a2? ? ? ?? ar线性无关? 下页 规范正交基 设n维向量e1? e2? ? ? ?? er是向量空间V(V?Rn)的一个基? 如果e1? e2? ? ? ?? er两两正交? 且都是单位向量? 则称e1? e2? ? ? ?? er是V的一个规范正交基? 向量在规范正交基中的坐标 若e1? e2? ? ? ?? er是V的一个规范正交基? 那么V中任一向量a应能由e1? e2? ? ? ?? er线性表示? 并且 a?[a? e1]e1?[a? e2]e2? ? ? ? ?[a? er]er? 事实上? 设a??1e1??2e2? ? ? ? ??rer ? 则 eiTa??ieiTei?