杨涛的建模.doc

基础实验三 数据拟合与曲线拟合 实验目的 对于某个变化过程中的相互依赖的变量，可建立适当的数学模型，用于分析、预报、决策或控制该过程。对于两个变量可通过用一个一元函数去模拟这两个变量的取值，但用不同的方法可得到不同的模拟函数。 使用最小二乘法来进行数据拟合，用基本函数曲线及其变化模拟给定的曲线，理解拟合方法。 实验解读 1、 数据拟合，是使用最小二乘法产生基函数的线性组合，以构造出拟合函数。 根据一组二维数据，即：平面上的若干点，要求：确定一个一元函数 y=f(x) ， 即： 曲线使这些点与曲线，总体来说，尽量接近。 这就是数据拟合成曲线的思想，简称为曲线拟合（fitting a curve）。 曲线拟合的目的是：根据实验获得的数据，去建立因变量与自变量之间有效的经验函数关系，为进一步的深入研究，提供线索。 而其实际含义，是寻求一个函数 y=f(x) ，使 f(x) 在某种准则下，与所有数据点最为接近，即： 曲线拟合得最好。 最小二乘准则，就是使所有散点到曲线的距离平方和最小。 拟合时选用一定的拟合函数f(x) 形式，设拟合函数可由一些简单的“基函数” （例如：幂函数，三角函数……）来线性表示。 2、 两个变量之间的函数关系，主要有两种： * 是线性关系（一次关系）； * 是非线性关系（非一次的其它一元函数）。 下面根据本实验，具体分析： 一、对于实验一（练习1）线性拟合，主要从形（大多数散点，是否在拟合曲线上，或附近）与 量（残差，是否小）来观察拟合效果。 二、对于实验二（练习2、3）非线性拟合，使用各种函数（多项式函数、对数函数、双曲线函数、指数函数、三角函数、分式有理多项式函数等初等函数）将其拟合，直到拟合曲线与散点图基本吻合（残差接近0时），再用 Mathematica 画出所得到的拟合曲线，观察所得曲线与散点的接近程度，从而得出：最接近的拟合曲线方程。 实验思路 2.3 线性拟合 2.4 非线性拟合 （练习2） 对于练习2非线性拟合，通过改变 i 的范围，假设函数的一般方程，即： 可求得： 拟合曲线。 对练习2中的数据用二次、三次、 …… 、十五次多项式函数，分别进行非线性拟合，并从形与量看拟合效果。 减少或增加数据，查看拟合效果。 对练习2的数据用指数函数、对数函数、双曲函数、三角函数、分式有理多项式函数等初等函数，分别非线性拟合，并从形与量看拟合效果； 思考用初等函数非线性拟合的优点与缺点，同时，思考有没有其它更好的非线性拟合。 （一）修改、补充程序 要说明拟合效果，主要从形（大多数散点是否在拟合曲线上或附近）与量（残差 是否小）！ 计算残差的程序： 假设对两个变量的多组记录数据已有程序 biao={{x1,y1},{x2,y2},…,{xn,yn}} 并且通过Fit得到非线性拟合函数y=f(x) 我们可以先定义函数（程序） f[x_]:= 再给出计算残差的程序 dareta=Sum[(biao[[i ,2]]-f[biao[[i ,1]]])^2,{i ,1, n}] 程序说明： biao[[i]]是提取表biao的第i行，即{xi,yi} biao[[i ,1]] 是提取表biao的第i行的第一个数, 即xi biao[[i ,2]] 是提取表biao的第i行的第一个数, 即yi biao[[i ,2]]-f[biao[[i ,1]]] 即yi-f(xi) （二）实验思路 先对练习2的数据用二次、三次、…、十五次、k次多项式函数分别非线性拟合，并从形与量看拟合效果；思考用多项式函数非线性拟合的优点与缺点。考虑对练习2的数据增加或减少； 先对练习2的数据用指数函数、双曲函数等初等函数分别非线性拟合，并从形与量看拟合效果；思考用初等函数非线性拟合的优点与缺点，同时思考有没有其它更好的非线性拟合。考虑对练习2的数据增加或减少 先对练习2的数据用分段函数（非初等函数）非线性拟合，并从形与量看拟合效果；思考用分段函数非线性拟合的优点与缺点，同时思考有没有其它更好的非线性拟合； 对练习2的数据增加或减少。 实验材料 2.1 曲线拟合 2.2最小二乘法 从中解出与，有，其中 ， , 。 Mathematica提供了最基本的数据拟合函数Fit，这个函数使用最小二乘法产生基函数的线性组合以构造出拟合函