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灰色理论 GM(1,1)模型的微分形式为： 式中 a—发展系数； u—灰作用量； x(1)—原始数据序列x(0)的累加生成变量。 (2-4) 灰色理论 模型的离散形式： 式中 k— 时间序号； x(1)（K+1）—（K+1）时刻累加生成值； x(0)（1）—x(0)中第一个数据。 (2-5) 灰色理论 灰色建模和求解过程可以用下图来表示。 灰色理论 2．2 灰色预测方法步骤 下面结合实例介绍用GM(1,1)模型进行事故预测的方法步骤。某矿某年3-7月份的轻伤事故情况如表所示，试预测8月份的轻伤事故人次。 月份 3 4 5 6 7 轻伤人次 29 33 34 35 37 灰色理论 1)数据的累加生成 建立灰色预测模型时，要对原始数据做累加处理，即对非负数列x(0)（i）= ｛x(0)（1），x(0)（2），x(0)（3），x(0)（4），x(0)（5）｝，做一次累加处理（1-AGO），求得新数列x(1)（i）： ，，i=1，2，…，n （2-6） 灰色理论 本例中，原始数据序列为： x(0)（i）=｛29，33，34，35，37｝ 用上式对原始数据序列做一次累加处理，生成新数列x(1)（i）为： x(1)（i）=｛29，62，96，131，168｝ 灰色理论 2）构造数据矩阵B及数据向量Y 式2-5所示的GM(1,1)模型中，需确定参数a、u的具体数值。为此，令 ，给出下列矩阵形式的方程： Y = B 灰色理论 其中， Y = [x(0)（2），x(0)（3），…，x(0)（n）]T 灰色理论 本例中， Y = [x(0)（2），x(0)（3），…，x(0)（n）]T = ｛33，34，35，37｝T 灰色理论 3)求GM（1，1）的系数向量 根据最小二乘法，求 灰色理论 本例中， 灰色理论 所以， a = -0.0386148777 u = 314)建立预测模型 根据式2-5，建立预测模型。 灰色理论 本例中，x(0)(1)=29, 灰色理论 即，本例中的事故预测公式为： 根据此公式可计算出今后各个时期的 ，即生成数列的预测值。 灰色理论 5)求还原数列 为了得到原始数列的预测值，还需要将生成数列的预测值作累减还原为原始值，即 灰色理论 式中 --原始数列的预测值； --生成数列的预测值。 本例中，由2-9式求得生成数列的预测值，由2-10式求得原始数列的还原值，分别列在表2-8、表2-9中。 灰色理论 6）误差及精度检验 由预测模型得到的预测值 ，必须经过统计检验，才能确定其精度等级。 （1）相对误差 ×100% （2-11） 灰色理论 其中， 为原始数列值与预测值的差值，即残差。 （2）后验差比值C 后验差比值C是残差均方差Se与数据均方差Sx之比，即 (2-13) (2-13) (2-13) 灰色理论 显然，残差的方差Se2越小，预测精度越高，但其数值大小与原始数据的大小有关。因此，取它们的比值作为统一的衡量标准。残差方差与数据方差的计 算分别为 （2-14） 灰色理论 （2-15） 上面两式中， 为残差均值， 为原始数据的平均值， 其他符号意义同上。 灰色理论 （3）小误差概率P （2-16） 灰色理论 后验差比值C和小误差概率P算出后，可按表2-7进行精度等级划分 预测精度 p C 好 P0.95 C0.35 合格 P0.80 C0.50 勉强 p0.70 C0.65 不合格 p≤0.70 C≥0.65 灰色理论 本例中，生成数列的预测值与误差检验如表2-8所示，原始数列的还原值与误差检验如表2-9所示。 K x(1)(k+1) ε(1)(k+1) ε(1)% 0 29 29 0 0 1 62 61.74 0.26 0.42 2 96 95.78 0.22 0.23 3 131 131.15 -0.15 0.11 4 168 167.91 0.09 0.05 灰色理论 K x(0) ε ε% 1 29 29 0 0 2 33 32.74 0.26 0.79 3 34 34.04 -0.04 0.12 4 35 35.37 -0.37 1.05 5 37 36.76 0.24 0.65 平均值 33．6 33．582 0．0225 灰色理论 求残差方差与数据方差，有： Se2 = [（0.26-0.0225）2+（-0.04-0.0225）2 +（-0