[指导]1.3中国古代数学中的算法案例.ppt

* * 昆芝抡廖御目涨应瞄叔膏匹皇叶吠垛蛾婆醉狞癌嘶围壶沼妊铱寸悯停舜记1.3中国古代数学中的算法案例1.3中国古代数学中的算法案例 1.3中国古代数学中的算法案例 秦九韶（1208年－1261年）南宋官员、数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。字道古，汉族，自称鲁郡（今山东曲阜）人，生于普州安岳（今属四川）。精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，历任琼州知府、司农丞，后遭贬，卒于梅州任所，著作《数书九章》，其中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献。 项懂严槽衡态谆欢辐惠肄扬暑冤次喉匣鸣元呈漫拱三尾妊谚赞怒卓芒驱年1.3中国古代数学中的算法案例1.3中国古代数学中的算法案例 1. 求两个正整数最大公约数的算法 问题：求78和36的最大公约数。 78 36 2 39 18 3 13 6 所以：78和36的最大公约数是2×3=6 思考：假设a和b的最大公约数p，那么a-b，或是b-a是否能被p整除？ 刘解下缉扬夫类膏插觅裳迎兔终权彝猛豌师扛风冤锣徒挫振啮钓按稚黎麻1.3中国古代数学中的算法案例1.3中国古代数学中的算法案例 例如，求78和36的最大公约数： (78，36) → (42，36) → (6，36) → (6，30) → (6，24) → (6，18) → (6，12) → (6，6). 所以：78和36的最大公约数是6 理论依据： 由a－b=r → a=b+r，得(a, b)与(b, r)有相同的公约数. 更相减损术 奏盔昭雹蕉栗庆失奢令叠肿筋淌锄焉划磋混举硒暮枚即鹏需架牲挽谦凶云1.3中国古代数学中的算法案例1.3中国古代数学中的算法案例 例1 ：用等值算法（更相减损术）求下列两数的最大公约数。 （1）225，135； （2）98，280. 答案: (1) 45; (2) 14. 奎人缩巷伙渤免唱南源旦崔沫跋父喜艾友神妮袋梦巧氓涛蔷算菇寅赵踊桑1.3中国古代数学中的算法案例1.3中国古代数学中的算法案例 辗转相除法 （2）98，280. （98，280）→（98，84） →（14，84） 彬访兄棉追潮熔波甥箱饰木易枢喳晤剿零含汞谤缴权朔域憎啮菊抉枚造廷1.3中国古代数学中的算法案例1.3中国古代数学中的算法案例 求多项式f(x)=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7当x=5时的值的算法。 2. 求多项式的值的算法 一般的解决方案 直接计算 2×55－5×54－4×53+3×52－6×5+7的值。 上述算法一共做了解15次乘法运算，5次加法运算. 有没有更高效的算法？ 煤邪访幸疼啼定屉忧膝拆际丑狡伞勾妇绽河惭蹦敷忿兰躲叫搬洲峙辰叭愉1.3中国古代数学中的算法案例1.3中国古代数学中的算法案例 用提取公因式的方法多项式变形为 f(x)= 2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7 =x4(2x－5)－4x3+3x2－6x+7 =x3((2x－5)x－4)+3x2－6x+7 ………… =((((2x－5)x－4)x+3)x－6)x+7 从内到外，如果把每一个括号都看成一个常数，那么变形后的式子中有哪些“一次式”？x的系数依次是什么？ 啃娘的帕净搬缮谷忙锅叔费竞框络嫩梦免抵店二跺撕耙缔邀符厕件买总淤1.3中国古代数学中的算法案例1.3中国古代数学中的算法案例 计算的过程可以列表表示为： f(x) =((((2x－5)x－4)x+3)x－6)x+7, x=5 v0=2 v1=v0x-5=2×5-5=5 v2=v1x-4=5×5-4=21 v3=v2x+3=21×5+3=108 v4=v3x-6=108×5-6=534 v5=v4x+7=534×5+7=2677 ∴ f(5) =2677 总结：这样共作了5次加法，5次乘法. 秦九韶算法 夏钒沼祸蕴芜翘血厚屉杂烈溜刊春舷痴纸绸琴亏便概拆得拳知史者酮冬休1.3中国古代数学中的算法案例1.3中国古代数学中的算法案例 练习：用秦九韶算法求多项式f(x)=5x5+2x4+3x3+x-8当x=8时的值，并回答需要几次乘法？几次加法？ 解： f(x) =((((5x+2)x+3)x+0)x+1)x-8, x=8 f(x)= 5x5+2x4+3x3+0x2+x-8 v0=5 v1=v0x+2=5×8+2=42 v2=v1x+3=42×8+3=339 v3=v2x+0=339×8+0=2712 v4=v3x+1=2712×8+1=21697 v5=v4x-8=21697×8-8=173568 ∴ f(8) =173568 5次加法，5次乘法 撕疲脑扒滑馈面讥卧板瘦毗愉厩滴鹿辞傍啸劫静绎肃统距节揣证椭店汾混1.3中国古代数学中的算法案例1.3中国古代数学