gorenstein投射模和广义gorenstein维数-gorenstein projective modules and generalized gorenstein dimensions.docx

符号说明R诺特（凝聚）环ΛArtinian代数口范畴modR(modRop)有限生成（表现）模范畴Hom,Ext函子RωR(ω)忠实平衡自正交模RRMω,fωHom (M,ω),Hom (f,ω)idR(M),(pdR(M))l.FP?idR(M)G?dimω(M)Trω(M)内射维数，投射维数左FP?内射维数广义的Gorenstein维数转置Mσ典范等价同态M→MωωωΩn(M)(Ωn(M))第n个合冲模（范畴）Rω⊥ω?dim (M)M的左正交维数addω模范畴中同构与ω的有限直和的直和项所构成的全子范畴第一章绪论同调代数是代数表示论中非常重要的一门学科，是上世纪40年代由著名数学家S.Eilenberg与S.Maclane等人创造的一门学科，它主要研究环模，以及环模上的复形，运用范畴中的理论方法，以Hom,?以及它们的导出函子Ext,Tor 作为基本函子，运用投射模，内射模和平坦模的分解理论，有效地给出了环类上的同调维数，而同调维数的研究是同调理论的核心部分，伴随同调理论的形成，它一直是同调代数研究的焦点，人们可以对环和模的分解式定义不同的维数，另外，对给定的环也可以通过对其上的一些模及某一种同调维数进行刻画，从而更好的揭示环的特征.本文主要探讨有关Gorenstein代数的同调性质，很多问题的解决都用到了同调的方法.因此我们首先介绍一下有关Gorenstein同调代数的发展, 以及代数表示论中一些重要的猜想和进展工作.随后我们给出本文涉及到的主要问题.一、研究背景和发展状况首先是著名的Nakayama猜想，该猜想引出了后面的一系列猜想，以最初的猜想为背景，学者们为解决问题，定义了相关的概念，得出了很多有价值的定理. [Nakayama,1958] Nakayama猜想(N.C):设任意模M∈modR，其中R表示Artin代数，modR表示有限生成的左R?模范畴，已知M 的极小内射分解为：0→M →E0(M)→E1(M)→L→Ei(M)→L则：R是自内射的如果Ei(M)是投射的.（R是自内射即R作为R?模时是内射的）[Bass,AMS,1960] Finitistic Dimension猜想(F.D.C): fin.dimR∞.其中：fin.dimR=sup{pdRMM∈modR,pdRM∞}.1975年，Auslander和Reiten在文献[1]中提出了广义Nakayama猜想.广义Nakayama猜想(G.N.C)：任意不可分解的内射左R?模M,都可看作是某些Ei(M)的直和项；它的一个等价刻画是：对于任意Artin代数R，及任意单模RT∈modR，存在一个非负整数k，使得Extk(T,R)≠0.黄兆泳教授在文献[2]中对忠实平衡自正交模做了很好的刻画，为更好的理解广义Nakayama猜想提供了帮助.相对于广义Nakayama猜想，自然会考虑RExtk(T,R)=0时的情形，于是就有了强Nakayama猜想：R强Nakayama猜想(S.N.C):对任意的i≥0，如果Exti (M,R)=0，则有：M=0 .Colby和Fuller[3]证得强Nakayama猜想在M是有限生成左R?模时成立.[Zaks,JAlgebra,1969]如果idRR和idRop R都是有限的，则idRR=idRop R. Beligiannis和Reiten在文献[4]中提出了Gorenstein对称猜想.Gorenstein对称猜想(G.S.C):对Artin代数R，R的左右自内射维数相等，即：idRR=idRop R(?idRR∞iff idRop R ∞)Gorenstein环最初是由Bass在交换环上定义的:[Bass, Math Z, 1963 ] 定理：如果R是交换的Noether环，则以下结论等价：（1）R是Gorenstein环；RR（2）fd Ei(R)≤i，其中i≥0；RR（3）fd Ei (R)≤i+1，其中i≥0.随后又有了新的定义：环R是Gorenstein环，如果R是双侧Noether环,且左右自内射维数均有限.该定义主要是由Auslander提出的，他将交换的Noether环改为非交换的，然后讨论其左右自内射维数，得出了很好的结论，也引申出有关维数的一些猜想，以下是他的一些工作：[AuslanderLNM456 ,1975] 定理：如果R是左右Noether环，以下结论等价：RR（1）fd Ei(R)≤i，其中i≥0；（2）opfdEi(R)≤i，其中i≥0；opRR上述两条件通常称为Auslander条件.定义：环R叫Iwanaga-Gorenstein环，如果RR和RR的内射维数都是有限的.定义：环R叫Auslander-Gorenstein环，如果它是Iwanaga-Gorenstein环并且满