并半连续格及映射性质的相关问题分析-analysis of related problems of union semicontinuous lattices and mapping properties.docx

目录第一章绪论11.1研究背景..................................11.2预备知识..................................3第二章井半连续格的相关性质52.1并半连续格的定义及性质........................52.2并半连续格的等价刻画..........................62.3并半连续格与并半scott拓扑7第三章井半连续格的映射性质93.1并半连续格映射与Galois联络的关系93.2并半连续格的子代数仍是并半连续格.................103.3并半连续格映射间保任意并和余定向交................10第四章一类局部有限dcpo结构和性质124.1局部有限dcpo的定义及性质124.2局部有限dcpo与自由的局部有限dcpo关系134.3局部有限dcpo与连续的dcpo关系13第五章总结与展望155.1总结.....................................155.2展望.....................................16参考文献17攻读硕士学位期间出版或发表的论著、论文19致谢20III第一章绪论§1.1研究背景拓扑学发展到如今，在理论上己经十分明显分成了两个小分支.一个分支主要是偏重于用代数方法来研究拓扑问题的，叫做代数拓扑学，另一个分支则是偏重于用分析的方法来研究拓扑问题的，叫做点集拓扑学，或者叫做分析拓扑学.目前，点集拓扑学的方法和结果几乎渗透到所有的数学分支中，其中参考文献[10]，[22-23]等都是点集拓扑学方面的重要文献.我们从中可以了解很多点集拓扑学的方法和得到的结果，为我们进一步的研究打下了坚实的基础.在上世纪五十年代末，C.Ehresmann提出了一种新的观点，他认为具有某种分配性的格(如完备的Heyting代数,直觉逻辑学者也称之为完备Brouwer格)其本身就可作为一种广义的拓扑来研究，而不论其是否可以表示为某一拓扑空间的开集格.后来进一步的研究表明了这种融合拓扑结构与序结构于一体的探讨是很有特色的，因其研究方法一般不涉及点的概念，从而形成了无点化拓扑理论，也称Locale理论或Frame理论.其中P.T.Johnstone的专著[24]和郑崇友等的专著[2]就是对这一领域研究工作的总结，取得了很多很好的结果.为我们更加深入研究做了铺垫.连续格理论以及Domain理论(见参考文献[1-5])是计算机中的一个重要研究领域.其中，连续格理论是在七十年代初期由几位不同领域中工作的数学家和计算机科学家几乎是同时建立与发展起来的.我们知道从1971年开始D.S.Soctt和Y.L.Es-rhow在程序语言语义学和递归函数理论方面的研究中发现了连续格理论开始，连续格就成为许多学者研究的对象.简单地说，连续格是一种具有理想的逼近系统的格.而逼近关系在文献[2]有具体的解释，其与计算机领域的–操作语义学有着紧密的联系.连续格理论固然是发源于计算机问题的，但它一经形成，人们很快就发现了它与其它数学领域的广泛联系，其中尤其以与拓扑空间理论和广义空间理论的关系最为密切.例如可以通过连续格概念来定义局部紧Locale等.与此同时在七十年代中期，J.D.Lawson，K.H.Hoffman等人在关于紧半格的结构理论研究中，也发现了连续格和代数格的结构.这样，完全不同的背景导致了同一对象的发现，剌激了该领域的进一步研究.也兴盛了这一领域的研究热潮.从形式的定义上来看，在理论计算机科学应用中，通常将序解释为元素所2013届淮北师范大学硕士论文包含的信息量的多少.根据这种解释，偏序集的最大元没有相应的计算直觉解释，因此一般所研究的序结构不能是完备格.这样定向完备偏序集(即在Domain理论中所称的dcpo)就自然成为研究的对象，而定向完格加上逼近思想实际上必然导致连续偏序集(或者连续Domain)概念的出现.另一方面，随着学者们不懈的研究，将连续格理论中最关键的way-below关系移植到偏序集上得到了连续偏序集的概念(参见文献[1]).随着连续格概念不断推广，将其中关键的双小于关系移植到定向完备偏序集(简记为dcpo)上得到了连续dcpo(又称Domain)的概念.目前我们知道Domain理论属于格论、拓扑学、范畴论及理论计算机科学的交叉领域，其中连续Domain又在Domain理论中占有极重要的地位.再后来管雪冲给出了局部dcpo的概念，并得到许多好的的结果(见文献[6]).推动了关于dcpo的研究，使得Domain理论不断的细化发展.在纯数学的研究方面，连续偏序集和连续格就可以成为多个学科的研究对象.其中，Lawson给出了连续偏序集的谱理论，指出任意连续