《导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例》新课程高中数学高三第一轮章节复习课件.ppt

第十二节 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例 　 导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性等，出现率较高.其试题类型以选择题和填空题考查导数的运算，属容易题，以解答题考查导数的综合问题，难度较大.2009年天津卷就出了一道导数综合应用的好题. (2009·天津高考)设函数f(x)＝－ ＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m0. (1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率； (2)求函数f(x)的单调区间与极值； (3)已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，x1，x2，且x1x2，若对任意的x∈[x1，x2]，f(x)f(1)恒成立，求m的取值范围. [解](1)当m＝1时，f(x)＝ f′(x)＝－x2＋2x，故f′(1)＝1. 所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1. (2)f′(x)＝－x2＋2x＋m2－1. 令f′(x)＝0，解得x＝1－m或x＝1＋m. 因为m0，所以1＋m1－m.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞， 1－m) 1－m (1－m， 1＋m) 1＋m (1＋m，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x)  极小值  极大值  所以f(x)在(－∞，1－m)，(1＋m，＋∞)上是减函数，在 (1－m,1＋m)上是增函数.函数f(x)在x＝1－m处取得极小 值f(1－m)，且f(1－m)＝ 函数f(x)在x＝1＋m处取得极大值f(1＋m)，且f(1＋m)＝ (3)由题设， ＝－ (x－x1)(x－x2)， 所以方程 有两个相异的实根x1，x2， 故x1＋x2＝3，且Δ＝1＋ (m2－1)0， 解得m－ (舍)，或m . 因为x1x2，所以2x2x1＋x2＝3，故 若x1≤1x2，则f(1)＝－ (1－x1)(1－x2)≥0，而f(x1)＝0，不合题意. 若1x1x2，对任意的x∈[x1，x2]，有x0，x－x1≥0，x－x2≤0， 则f(x)＝ (x－x1)(x－x2)≥0. 又f(x1)＝0，所以f(x)在[x1，x2]上的最小值为0. 于是对任意的x∈[x1，x2]，f(x)f(1)恒成立的充要条件是f(1)＝m2－ 0，解得 综上，m的取值范围是 本题第(3)问有一定的难度，学生一是不会分析出 x2 1，二是不知道对x1进行讨论，从而导致 不能拿到后面的4分. * ? (1)由f(x)过点(－1，－6)及g(x)图象关于y轴对称可求m，n.由f′(x)0及f′(x)0可求单调递增和递减区间.(2)先求出函数y＝f(x)的极值点，再根据极值点是否在区间(a－1，a＋1)内讨论. 【解】　(1)由函数f(x)图象过点(－1，－6)，得 m－n＝－3 ① 由f(x)＝x3＋mx2＋nx－2，得 f′(x)＝3x2＋2mx＋n， 则g(x)＝f′(x)＋6x＝3x2＋(2m＋6)x＋n. 而g(x)图象关于y轴对称，所以 所以m＝－3，代入①，得n＝0. 于是f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2). 由f′(x)0，得x2或x0， 故f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)； 由f′(x)0，得0x2， 故f(x)的单调递减区间是(0,2). (2)由(1)得f′(x)＝3x(x－2)， 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2. 当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表： x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  极大值  极小值  由此可得： 当1a3时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极小值f(2)＝－6， 无极大值； 当a≥3时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值. 综上得：当1a3时，f(x)有极小值－6，无极大值； 当a≥3时，f(x)无极值. 2.已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0. (1)求f(x)的单调区间； (2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图 象有三个不同的交点，求m的取值范围. 解：(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a). 当a0时，对x∈R，有f′(x)0， ∴当a0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋