大学数学-高等数学基本知识点.pdf

2011 年全国研究生入学考试精编基础讲义 高等数学基本知识点 （配套同济大学版《高等数学》） 编著：北京领航·导航考研 数学教研室名师团队 1 一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给 定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能 构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母 A、B、C、„„表示集合，用小写拉丁字母a、b 、c„„表示集合中的元素。 如果 a 是集合 A 中的元素，就说a 属于 A，记作：a ∈A，否则就说a 不属于 A，记作：a A 。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作 N + ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作 N 或 N 。 + ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作 Z 。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作 Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作 R 。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合 A、B，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就 说 A、B 有包含关系，称集合 A 为集合 B 的子集，记作A B （或B A ）。。 ⑵相等：如何集合 A 是集合 B 的子集，且集合B 是集合 A 的子集，此时集合A 中的元素与集合B 中 的元素完全一样，因此集合A 与集合 B 相等，记作 A ＝B 。 ⑶、真子集：如何集合 A 是集合 B 的子集，但存在一个元素属于B 但不属于 A，我们称集合A 是集合 B 的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作 ，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即 A A ②、对于集合 A、B、C，如果A 是 B 的子集，B 是 C 的子集，则A 是 C 的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合称为A 与 B 的并集。记作A ∪B 。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A ∪B ＝｛x|x ∈A，或x ∈B ｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合称为A 与 B 的交集。记作A ∩B 。 即A ∩B ＝｛x|x ∈A，且x ∈B ｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。 通常记作 U 。 2 ②补集：对于一个集合 A，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集 U 的补集。简称为集合A 的补集，记作C A 。 U 即C A ＝｛x|x ∈U ，且x A ｝。 U 集合中元素的个数 ⑴、有限集：我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。 ⑵、用 card 来表示有限集中元素的个数。例如 A ＝｛a,b,c ｝，则card(A)=3 。 ⑶、一般地，对任意两个集合 A、B，有 card(A)+card(B)=card(A ∪B)+card(A ∩B) 我的问题： 1、学校里开运动会，设A ＝｛x|x 是参加一百米跑的同学｝，B ＝｛x|x 是参加二百米跑的同学｝，C ＝｛x|x 是参加四百米跑的同学｝