关于局部对偶平坦的几类重要的-度量的分析-analysis of several important types of metrics on local dual flatness.docx

1 绪论1.1研究背景局部对偶平坦的芬斯勒度量来自于信息几何. S.I.Amari 和H.Nagaoka在黎曼空间研究信息几何时首先引入了对偶平坦度量的概念[1].信息几何中局部对偶平坦的度量有其特殊的信息结构.后来沈忠民教授将局部对偶平坦的概念推广到了芬斯勒几何[18].对于流形M上的芬斯勒度量F，如果在任何一点处存在局部坐标系(xi)使得测地系数满足GigijH=?jy，其中H=H(x,y)是裂纹切丛TM\{0}上的光滑标量函数且对所有正实数λ有H(x,λy)=λ3H(x,y)，我们称度量F是局部对偶平坦的[18],这个局部坐标系叫着恰当坐标系. 我们知道一个黎曼度量α=aij(x)yiyj 是局部对偶平坦的充要条件是在一个?2φ(x)恰当坐标系下,aij(x)=?xi?xj，其中φ(x)是流形M上的一个光滑函数.在芬斯勒几何情形，第一个非黎曼的局部对偶平坦的芬斯勒度量在[3]中被找到，该度量由下式给出2222y ?(xy ?F=21?xx,y)x,y2±，1?x这是定义在单位球Bn上的一个Randers度量. 因此，一个自然和重要的问题就是研究和刻画局部对偶平坦的芬斯勒度量. 这一方向的研究对深入理解芬斯勒度量的结构与性质有重要的意义，对揭示这类度量的神秘面纱必将产生深远的影响. 2009年，程新跃教授和沈忠民教授首先刻画了局部射影平坦且局部对偶平坦的芬斯勒度量，其次,他们找了一组方程去刻画局部对偶平坦Randers度量，同时他们还分类了局部对偶平坦且具有迷向S-曲率的Randers度量[4].进而，一个自然的问题就是研究和刻画更一般的局部对偶平坦的(α,β)-度量.本文我们刻画了局部对偶平坦的几类重要的(α,β)-度量. 1.2 本文的主要结果首先我们考虑了局部对偶平坦的Randers度量，得到如下结果：定理1.2.1设F=α+β是n维(n≥3)流形M上的Randers 度量，其中α=aij(x)yiyj是黎曼度量，β=bi(x)y为1-形式.若α是局部射影平坦的，则F是i局部对偶平坦的芬斯勒度量当且仅当F是下列情形之一：（1）F是局部闵可夫斯基度量；（2）F是局部等距于22222F?= y +μ(x y ?x,y )+2c x,y ，1+μx其中μ=?4c2，c是一常数.当c= 1时，F?是Funk度量. 2进一步，我们在α具有常数截面曲率情形下,刻画了局部对偶平坦的形如(α+β)2F=的(α,β)-度量，得到了如下结果：α2定理1.2.2给定n维(n≥3)流形M上的形如F=(α+β)α的(α,β)-度量，其中α 是黎曼度量，β为1-形式.若α具有常数截面曲率，则F是局部对偶平坦的当且仅当F是局部闵可夫斯基度量. (α+β)2若β为闭的1-形式，我们刻画了局部对偶平坦的形如F=的(α,β)-度α量. 2定理1.2.3给定n维(n≥3)流形M上的形如F=(α+β)α的(α,β)-度量，其中α是黎曼度量，β为1-形式.若β是闭的1-形式,则F是局部对偶平坦的当且仅当F是局部闵可夫斯基度量. 2我们还考虑了局部对偶平坦的形如F= α的(α,β)-度量(我们称之为α?βMatsumoto 度量)，得到了如下结果：2定理1.2.4 给定n维(n≥3)流形M上的Matsumoto度量F= α.则F是局α?β部对偶平坦的充要条件是α和β满足αl =1(2θ?τβ)yl +1(θl +τbl)α2,β2sl0 =3θlβ?3θbl +τβbl ?9τ9α2yl,r =2θβ+τβ2 ?1(2θlb+2τb2 +τ)α2,0033l其中τ=τ(x)是一个标量函数. 2如果Matsumoto度量F= α是局部对偶平坦且具有迷向S-曲率，我们可以α?β如下刻画它的局部结构: 2定理1.2.5给定n维(n≥3)流形M上的Matsumoto度量F= α. 则F是局α?β部对偶平坦且具有迷向S-曲率的充要条件是α是平坦的且β关于α是平行的.此时F局部等距于一个闵可夫斯基度量F%(y)=y2，其中b是常数,并且S=0. iy?byii2其次我们证明了形如F=α+εβ+kβ的(α,β)-度量为局部射影平坦且具有迷α向S-曲率的充分必要条件是它们为局部闵可夫斯基度量. 2定理1.2.6 给定n维(n≥3)流形M上的形如F=α+εβ+kβ的(α,β)-度量，αi其中ε≠0,k≠0为常数.则F为局部射影平坦且具有迷向S -曲率的充要条件是α是平坦的且β关于α是平行的.此时F 局部等距于一个闵可夫斯基度量F%=y+εbyi+k(b yi)2iy，其中bi是常数,并且S=0. 2最后我们还证明了Matsumoto度量F= α为局部射影平坦且具有迷向S-曲α?β率的充分必要条件是它们为局部闵可夫斯基度量. 2定理1.