关于奇数维射影代数簇的小收缩态射的分析-analysis of small contraction morphisms of odd-dimensional projective algebraic clusters.docx

关于奇数维射影代数簇的小收缩态射的研究。互引言，。几何学的主要目的就是研究几何的一般性质并对所研究的几何对象进行分类代，数几何学也不例外代数簇的分类问题始终占据中心位置首先按双有理等价关系进行分，。类然后再按双正则等价关系进行细分类。最近二十多年才发展起来的高维代数簇的双有理等价分类的研究一直是国际数学。，界的热点之一一个核心问题就是高维代数簇的双有理等价类中是否存在极小模型对于，，非直纹代数曲面而言每个双有理等价类中都存在唯一一个极小模型并且等价类中每个。，曲面都是其极小模型经过有限次点的吹开而得到于是对曲面的研究可归结为。，对极小模型的研究为了解决高维代数簇的极小模型的存在性问题日本学者森重文，，建立了半线收缩理论参见并解决了三维代数簇的极小模型的存在性问题。【获年菲尔兹奖这之后更高维代数簇的极小模型问题备受关注并取得了不，，少进展其中最具代表性的成果之一是证明了下述结果，设是维光滑射影代数簇、是对应极端半线的小收缩映射那么几。的例外集的每个不可约分支，，，因为寻找极小模型的过程就是构造收缩态射的过程因此只有弄清楚了收缩态射的，，性质即例外集的结构才可能解决极小模型问题故的上述结果是极有意义。的，张琦【将的上述结果推广为，。设是二维的光滑射影代数簇几、是对应极端半线的小收缩态射，如果几的例外集的每个不可约分支是维的光滑代数簇则，护。本文主要研究奇数维代数簇的小收缩态射的例外集的结构，我们的主要结果是一，，设是维的光滑射影代数簇是对应极端半线的小收缩态射，如果几的例外集的每个不可约分支、是维的光滑代数簇那么的长度才或。并且当蓉时，圣预备知识，一本文所用概念与一致，。设是正规的射影代数簇口是的结构层上的有限形式和艺称为循，，环这里、是整数是上的不可约曲线。定义由上的所有除子生成的自由群。由上的除子生成的自由群。由上的不可约曲线生成的自由群。，。二上的线丛构成的群，，设是上的线丛是上的不可曲线’一是的正规化定义与，二的相交数为的在’上的拉回的次数即飞功现可线性地扩充为。、，上的积，，·存在从到的一个自然态射将除子对应到线丛吞因，是射影的这个态射是映上的因此可以定义、上的一个积吞。，，称为除子与的相交数，。，，两个盯除子和称为数字等价的记为一如果对中的每条曲线。。都有二类似地称曲线和是数字等价的记为一如果对于每个，除子都有二一分别是和上的等价关系定义‘一⑧一。，，，一这里是实数域，，。，，设是正规射影簇是有限的称为的数记为户因‘，。和互为对偶实向量空间故‘刀是有限维实空一司，我们可以选择一度量在上定义一拓扑该拓扑与度量的选择无关。。定义由中的不可约曲线生成的中的锥体，，，，二在中的闭包称为中的曲线的闭锥。中的子集称为极端的如果召任当，，。群。任则粼和都在中，，一维的极端子集称为极端半线如果且‘中的除子称为数字有效的如果对每个任有·二，设是的典范丛我们定义锥的负的部分为灯任城·二。理论的一个基本结果是，一，定理锥体定理设是光滑射影簇则是包含汀中所有极端半线，的最小闭凸锥体如果是包含丽的任一开凸锥则只存有限个极端半线不包，含在中每个极端半线均可由有理曲线生成二【并且一‘，，，。，这样的曲线称为极端有理曲线，’、。设是的一个除子如果存在整数使得吞可由整体截面生成则这些，一，，截面确定一个到射影空间的态射劝”俨并且劝今《口此时称线，，，，性系统是基点自由的或者是半丰富的如果劝是闭的浸入则称是极丰富的或者是丰富的如果劝二则称，，是大的理论的另一基本结果是，一，。定理收缩定理【设是光滑射影簇是上的数字有效除子如果存在整数使得是数字有效的且是大的则是半丰富的，由以上两个基本定理可得如下重要结果，推论【设是光滑射影代数簇是的一个极端半线那么存在正规射影，。代数簇以及满态射使得的纤维是连通的并且上的曲线被收缩为，，，，，一点当且仅当【任几称为与极端半线相伴的收缩映射，，，“，设夕是一个范畴夕表示脚的对象的全体对于任脚以脚，，均表示由到的所有态射的集合或者简记为】以脚表示脚的反范畴表，示集合组成的范畴任取脚有共变函子“脚、，，、，”脚“对于脚中的任一态射、在其上的作用是自然的介夕，”脚一，、，，。当然也是脚到的一个反变函子设是由范畴脚到范畴的一个反变函。，，。子如果存在任夕使得与同构则称为可表函子，的一个表示是指一个函子同构夸此时称由代表、，。，如果是一个可表函子根据引理知的任一表示夸，完全由任夕。。以及夸所决定此时称那夸为的泛元设任脚对任一，，，，任存在唯一的态射夕使得群，一，，设”是射影簇到的态射吞是丰富的线丛设上的层在，上是平坦的则对于充分大的正整数是局部自由的于是存在多项式使得，。，称为的多项式，定义设是的一个概型是上的局部概型范畴定义函子如下”。，，子概型在上是正常且平坦的，设是上的概型口是相对丰富线丛是一多项式定义函子如下。”，。子概型在