关于向量丛截面一个poincaré-hopf型公式-a point car é - hopf formula for vector bundle section.docx

1.绪论1.1 本课题的研究意义Poincaré–Hopf公式是拓扑学中的一个非常重要而又基本的定理。利用该公式, 一个闭、定向流形M的Euler示性数可以表示为M上一个向量场的零点指标的代数和。这一公式的重要意义在于，Euler示性数是流形M的一个拓扑不变量，它反映了流形M的某种整体信息，而向量场的零点指标只是一种局部的量。Poincaré–Hopf 公式令人惊奇之处是该公式将这些局部的信息与流形M的整体信息联系了起来。 Poincaré–Hopf公式在数学及其理论物理中有着众多的应用。例如利用该公式可以看出Euler示性数是一个流形上是否存在处处非零的向量场的一个（由著名的Hopf 定理，这也是唯一的一个）拓扑阻碍。另外该公式还在数学大师陈省身先生于1940年代给出的关于Gauss-Bonnet公式的一个简单的内在证明这一划时代的研究工作中起到了基本的重要作用。由于Poincaré–Hopf公式的极端重要性及其应用的广泛性，关于该公式在各个方向上的推广及其各种不同的证明一直为主流数学家所关注。2Poincaré-Hopf公式概述Poincaré–Hopf公式的二维情形是由HenriPoincaré于1885年证明的，而在一般m维紧流形上的推广是由HeinzHopf在1926年接着Brouwer和Hadamard的较早的部分结果之后证明的（见文献[2]或[3]的介绍部分）。下边，我们先简单介绍一下Poincaré–Hopf公式的基本内容。设M是一个m维的闭(紧致、无边)、定向光滑流形，X∈??(TM)为M上的光滑向量场。我们称光滑向量场的零点为奇点，并且假设奇点集Zero(X):??{x∈?M:X(x)??0}由一些孤立点构成。那么，对于任意x∈Zero(X)可以定义一个整数degX(x)，我们称之为向量场X在点x的指标。这里degX(x)可由下述方式定义：在流形M上任取一个Riemann度量gTM，取点x的一个充分小的球形开邻域Ux使得向量场X在Ux\{x}上没有零点，并且Ux的闭包Ux微分同胚于m维欧氏空间里的单位闭球体，切丛TM限制在Ux上是平凡的。这时，X导出一个映射vx:?Ux 二Sm?1(1)→?Sm?1(1)，其中v(y)???X(y)∈STMxX(y)gm?1(1)。此时零点x的指标degX(x)可定义为这个导出映射vx的Brouwer度。由于映射的Brouwer度是一个同伦不变量，它与M上的度量选取无关，所以degX(x)是一个良定义的量，它仅与X在x点附近的性质有关。我们用??(M)代表流形M的Euler示性数。这时，Poincaré–Hopf公式可以表述如下Poincaré–Hopf公式：(见文献[2]、[4]、[5]或[6]) 设M为一个闭、定向的m维光滑流形，X为其上的一个只有孤立零点的向量场，那么：??(M)?∑x∈Zero(X)degX(x).由于Poincaré–Hopf公式的极端重要性及其应用的广泛性，数学家们不断地研究了该公式在各个方向上的推广，有的将它推广到了非孤立零点集的情形，有的将它推广到了向量丛截面的情形，有的将它推广到了带边流形的情形等等（见文献[7]、[8]、[9]、[10]、[11]、[12]、[13]、[3]）。同时随着数学的发展，各种新的数学概念的提出，数学家们还发现了Poincaré–Hopf公式的许多新的证明。这方面的一个非常重要的进展是由著名物理学家Witten引发的。1982年，Witten在其发表于JournalofDifferentialGeometry的文章Supersymmetry and Morse theory (见文献[14])中给出了对著名的Morse理论的一个形变的理解，作为附产品还给出了Poincaré–Hopf公式的解析证明。由于Witten这一形变思想对于数学尤其是Atiyah-Singer指标理论的极端重要性，很多数学家，如B.Helffer，J.Sj?strand，J.M.Bismut，G.Lebeau，虞言林等(见文献[15]、[16]、[17]、[18]、[19]、[20])；深入研究了包含在Witten形变思想中的数学概念，发展了其中的数学技术。其中特别是J.M. Bismut和G.Lebeau还发展出了一套系统的解析局部化技术(见文献[17])。在Witten形变思想的影响下，联系于Poincaré–Hopf公式及其推广的解析证明，不断被数学家们发现，如A.ElSoufi和X.P.Wang在1987年给出了联系于具有非退化奇点的向量场的Poincaré–Hopf公式的一个严格解析证明(见文献[21])。2000年，张伟平的文章eta-invariantsandthePoincaré-Hopfindexformula（见文献[22