广义欧拉函数φen的奇数值-singular value of generalized euler function φ en.docx

二旨，AbstractnLetZ+bethesetofallpositiveintegers，Eulerfunctionψ(n)de缸edonZ+始animportantfunctioninnumberthωlj人ψ(n)=L1，i.e.，thenumber(i，n)=lofpositiveintegersnotgreaterthannandprimeton.Itisexcessivelyusefulinnumbertheory.Since1970s，ψ(n)hasplayedkeyroleinRSApublic幽keyc叩ptosystem.InordertogeneralizeLehmersωngruencesfrommoduloprimesquarestomodulointeger叫uar俑，C皿[2]definedthefollo时nggeneralizedEulerfunction，foreache1，L[l/}e(n)=1，(i，n)=lwhere[x]isthegreat锦tintegernotgreat町thanx，i札白(n)阳thenumberofpositiveintegersnotgreaterthan[]andprimeton.Itse拙，ytoverifythat仰)25μ忡，whereμ(n)总M?biusfunction.Whene=1，以n)istheEulerfunction仰).Inthisnote，westudytheparityofthegeneralizedEulerfunctionPe(n).Fore=4，we回vesufficientandnec酬町conditionforbothPe(n)削阶(川1)beodd.Keywords:generalizedEulerfunction;parity;Diophantinefunction录目摘要1Abstractii目录第一辈背景知识11.1数论函数...............................11.1.1积性函数...........................11.1.2欧拉函数...........................21.1.3勒让德符号..........................31.2不定方程...............................4第二章广义欧拉函数的定义及主要引理52.1广义欧拉函数的定义.........................52.2主要引理...............................62.2.1引理2.2............................62.2.2号|理2.3............................62.2.3引现2.4............................72.2.4引理2.5............................9第二章定理的证明113.1解不定方程(2)..3.2解不定方程(3).............................14参考文献16政谢17第一章背景知识1.1.1积性函数1.1数论函数定义1.1定义在集合D上的数论函数f(n)称为积性函数，如果满足若(m，n)=1，m，nED，如果满足俐，nED，则称f(n)为完全积性函数.f(mn)=f(m)f(n).f(mn)骂f(m)f(时，数论函数的定义域可以取各种形式的整数集合.为了简单起见，当我们不说明定义城时，这个数论函数的定义域就是全体正憨数的集合N.例1.1M?bius函数11若n=1，μ(n)=(-1t，若n为r个不问的素数之积，10，若n被一个索数的平方整除.容易知增μ(n)是积性函数，但不是完全积性函数.命题1.2([6])对任意的η0，有艺μ(d)=艺μ()口[]=1，n=1Indln川lυ，n1数论中还有两个蒙耍的函数ω(n)和O(n).设n(1)的标准索因数分解式是n=P10:11怡的...Pr0:，.，定义1.3l俨.n1.ω(n)=IO，n=1.即表示n的不同的素因数的个数;以及。(n)=Ictl+02++αr，n1，10，即表示n的全部素因数的个数(即按重数计算).n=1.这两个数论函数都不是积性函数，但容易验证:ω(mn)=ω(m)+ω(n)，(m，n)=1，及对任意的正整数例，n有O(mn)=O(m)+O(n).1.1.2欧拉踊数定义1.4欧拉函数ψ(n)是…个定义在正整数集上的函数，ψ(n)=去1，即(i，n}=l序列1，2，…，n中与n互素的数的个数.由定义，ψ(1)=1，ψ(2)=1，ψ(3)=孔….当p是索数时，ψ(P)=p叩1.ψ(n)是数论中