【人教A版】2017学年数学必修三：1.3 算法案例 精讲课件.ppt

【失误案例】 【错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗? 提示：错误的根本原因在于当多项式中间出现空项时，用秦九韶算法求函数值时没有补上系数为0的相应相项. 【自我矫正】原多项式可化为： f(x)=((((x+0)x+1)x+1)+1)x+1， 当x=3时，v0=1， v1=1×3+0=3， v2=3×3+1=10， v3=10×3+1=31， v4=31×3+1=94， v5=94×3+1=283，所以，当x=3时，f(3)=283. 【防范措施】 1.多项式改写要恰当、正确 利用秦九韶算法计算多项式的值之前，必须先对多项式进行改写，多项式各项的次数按从高到低进行排列，如果有系数为0的项，要补全，然后再进行改写，否则容易出现如本题中f(x)=(((x+1)x+1)x+1)x+1的错误. 2.计算要准确 利用秦九韶算法计算多项式值的过程中，要进行多次计算，每一步中间结果要准确，如本题中v0，v1，v2，v3，v4，v5的计算都要准确无误，否则就可能导致错误出现. 【解析】1.378=90×4+18，90=18×5+0， 所以378与90的最大公约数是18. 答案：18 2.因为294与84是偶数，首先除以2得到147，42，再求147与42的最大公约数147-42=105，105-42=63，63-42=21，42-21=21，共做了4次减法. 答案：4 3.方法一(辗转相除法) 第一步：104÷65=1×65+39 第二步：65=1×39+26 第三步：39=1×26+13 第四步：26=2×13+0 所以104和65的最大公约数为13. 方法二(更相减损术) 由于65不是偶数，把104和65以大数减小数，并辗转相减，即 104-65=39， 65-39=26， 39-26=13， 26-13=13， 所以104和65的最大公约数为13. 【方法技巧】 1.辗转相除法的算法步骤 第一步，输入两个正整数m，n(mn). 第二步，计算m除以n所得的余数r. 第三步，m=n，n=r. 第四步，若r=0，则m，n的最大公约数等于m； 否则，返回第二步. 第五步，输出最大公约数m. 2.更相减损术的求解步骤 第一步，给定两个正整数m，n(mn且m，n不全是偶数). 第二步，计算m-n所得的差k. 第三步，比较n与k的大小，其中大者用m表示，小者用n表示. 第四步，若m=n，则m，n的最大公约数等于m；否则，返回第二步. 【拓展延伸】三个数的最大公约数的求解方法 (1)从三个数中任取两个数，用辗转相除法或更相减损术求它们的最大公约数. (2)根据辗转相除法或更相减损术求所求得的最大公约数和第三个数的最大公约数. (3)求得的最大公约数即为这三个数的最大公约数. 【变式训练】1.用辗转相除法求225和135的最大公约数. 2.用更相减损术求1734，816的最大公约数. 【解析】1.225=135×1+90， 135=90×1+45，90=45×2， 所以45是225和135的最大公约数. 2.因为两数皆为偶数，首先除以2得到867，408，再求867与408的最大公约数. 867-408=459，459-408=51， 408-51=357，357-51=306， 306-51=255，255-51=204， 204-51=153，153-51=102， 102-51=51， 所以1734与816的最大公约数是51×2=102. 类型二 秦九韶算法的应用 【典例】1.用秦九韶算法计算多项式f(x)=3x6+4x5-5x4+6x3-7x2+8x+1当x=2时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是　(　　) A.6，6　　　B.5，6　　　C.5，5　　　D.6，5 2.用秦九韶算法求多项式f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1，当x=2时的值. 【解题探究】1.典例1中多项式的最高次数是几，多少项相加? 2.典例2中不含x5，x3及x2项怎么办? 【探究提示】1.典例1中多项式的最高次数是6，共7项相加. 2.先把多项式f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1变形为f(x)=8x7+5x6+0·x5+3·x4+0·x3+0·x2+2x+1. 【解析】1.选A.由秦九韶算法将多项式改成如下形式： f(x)=(((((3x+4)x-5)x+6)x-7)x+8)x+1， 按由内到外的顺序，依次计算x=2时的值. v0=3，v1=3×2+4=10. v2=10×2-5=15， v3=15×2+6=36， v4=36×2-7=65， v5=65×2+8=138， v6=138×2+1=277. 这样求多项式的值时，是通过求6个一次多项式的值得到的，故进行了6次乘法和6次加法. 2.根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式： f(x)=8x7+