【人教A版】2017学年数学选修1-1全册配套课件：3.4 生活中的优化问题举例 探究课件.ppt

【解析】依题意，有 所以y＝ 于是框架用料长度为l＝2x＋2y＋ l′＝ 令l′＝0，即 解得x1＝8－4 ，x2＝4 －8(舍去)． 当0＜x＜8－4 时，l′＜0；当8－4 ＜x＜4 时，l′＞0， 所以当x＝8－4 时，l取得最小值． 此时，x＝8－4 ≈2.343，y≈2.828. 即当x为2.343 m，y为2.828 m时，用料最省． 类型三:利润最大问题 【典例3】(2015·沈阳高二检测)某商品每件成本9元,售价为30元,每星期卖出432件,如果降低价格,销售量将会增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位:元,0≤x≤30)的平方成正比,已知商品单价降低2元时,一星期将多卖出24件. (1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数. (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大? 【解题指南】(1)先求出比例系数,再依据题设求出多卖的商品数,再根据销售利润=销售收入-成本,列出函数关系式,即可得到答案;(2)根据f(x)的解析式,用导数求最值. 【解析】(1)设商品降价x元,则多卖出的商品件数为kx2,若记商品一 个星期的获利为f(x),则依题意有f(x)=(30-x-9)·(432+kx2)= (21-x)(432+kx2). 又由已知条件,24=k×22,于是有k=6. 所以f(x)=-6x3+126x2-432x+9072,x∈[0,30]. (2)根据(1)有f′(x)=-18x2+252x-432=-18(x-2)(x-12), 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 故x=12时,f(x)取到极大值,因为f(0)=9072,f(12)=11664, 所以定价为30-12=18(元)时能使一个星期的商品销售利润最大. x [0,2) 2 (2,12) 12 (12,30] f′(x) - 0 + 0 - f(x) 单调递减↘ 极小值 单调递增↗ 极大值 单调递减↘ 【规律总结】有关利润问题四点注意 (1)利润=收入-成本. (2)正确理解几个概念:成本、利润、单价、销售量、广告费. (3)建立利润函数关系,同时要注意函数的定义域. (4)商品的价格要高于生产商品的成本,否则会亏本. 【巩固训练】某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销, 在一年内,预计年销量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q= (x≥0),已知生产此产品的年固定投入为3万元,每生产1万件此 产品需再投入32万元.若每件售价为“年平均每件成本的150%”与“年 平均每件所占广告费的50%”之和. (1)试将利润y(万元)表示为年广告费x(万元)的函数.如果年广告费投 入100万元,企业是亏损还是盈利? (2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大? 【解析】(1)由题意,每年产销Q万件,共计成本为(32Q+3)万元.销售 收入是(32Q+3)·150%+x·50%, 所以年利润y=年收入-年成本-年广告费= (32Q+3-x) 所以,所求的函数关系式为y= (x≥0).当x=100时,y0, 即当年广告费投入100万元时,企业亏损. (2)令f(x)=y= (x≥0)可得 f′(x)= 令f′(x)=0,则x2+2x-63=0. 所以x=-9(舍去)或x=7. 又x∈(0,7)时,f′(x)0;x∈(7,+∞)时,f′(x)0, 所以f(x)极大值=f(7)=42. 又因为在(0,+∞)上只有一个极值点,所以f(x)max=f(x)极大值=f(7)=42. 故当年广告费投入7万元时,企业年利润最大. 【补偿训练】工厂生产某种产品,次品率p与日产量x(万件)间的关系 为 (c为常数,且0c6).已知每生产1件合格产品盈 利3元,每出现1件次品亏损1.5元. (1)将日盈利额y(万元)表示为日产量x(万件)的函数. (2)为使日盈利额最大,日产量应为多少万件?(注:次品率= ×100%) 【解析】(1)当xc时, 当0x≤c时, p= 所以 所以日盈利额y(万元) 与日产量x(万件)的函数关系为 (2)由(1)知，当x＞c时，日盈利额为0. 当0＜x≤c时，因为y＝ 所以 令y′＝0，得x＝3或x＝9(舍去)． 所以①当0c3时,y′0, 所以y在区间(0,c]上单调递增, 所以y最大值=f(c)= ②当3≤c6时,在(0,3)上,y′0,在(3,c)上,y′0, 所以y在(0,3)上单调递增,在(3,c)上单调递减. 所以y最大值=f(3)=