第八章第9讲 直线与圆锥曲线的位置关系.doc

第9讲　直线与圆锥曲线的位置关系 [学生用书]) 1．直线与圆锥曲线的位置关系的(1)代数法：把圆锥曲线方程C与直线方程l联立消去y整理得到关于x的方程ax＋bx＋c＝0. 方程ax＋bx＋c＝0的解 l与C的交点 ＝0 ＝0 无解(含l是双曲线的渐近线) 无公共点有一解(含l与抛物线的对称轴平行(重合)或与双曲线的渐近线平行) 一个交点 Δ＞0 两个不相等的解 两个交点 Δ＝0 两个相等的解 一个交点 Δ＜0 无实数解 无交点(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．直线与圆锥曲线的相交弦长问题设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A两点(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝－x＝＝－y＝ 1．辨明两个易误点(1)直线与双曲线交于一点时易误认为直线与双曲线相切事实上不一定相切当直线与双曲线的渐近线平行时直线与双曲线相交(2)直线与抛物线交于一点时除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行或重合时也相交于一点．2．“点差法”求解弦中点问题的步骤— 　↓— 　↓— 　↓— 1．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax相切则a等于(　　)　　　　　　　　　　　 B． D．4 　C　[解析] 由消去y得ax－x＋1＝0所以解得a＝双曲线C：－＝1(a＞0＞0)的右焦点为F直线l过焦点F且斜率为k则直线l与双曲线C的左右两支都相交的充要条件是(　　)＞－＜＞或k＜－－＜k＜　D　[解析] 由双曲线渐近线的几何意义知－＜k＜过点的直线l与抛物线y＝－x交于A、B两点为坐标原点则的值为(　　)－－－4 D．无法确定　B　[解析] 设A(x)、B(x)，直线l的方程为y＝kx－代入抛物线方程得2x＋2kx－1＝0由此得所以＝x＋y2＝x＋＝(k＋1)·x－(x1＋x)＋＝－(k＋1)－(－k)＋＝－故选过点A(1)作倾斜角为的直线与抛物线y＝2x交于M、N两点则|MN|＝________．[解析] 过A(1)且倾斜角为的直线方程为y＝x－1代入y＝2x得x－4x＋1＝0.设M(x)，N(x2，y2)，有x＋x＝4＝1所以|MN|＝－x＝＝＝2[答案] 2过点(0)作直线使它与抛物线y＝4x仅有一个公共点这样的直线有________条．[解析] 结合图形分析可知(图略)满足题意的直线共有3条：直线x＝0过点(0)且平行于x轴的直线以及过点(0)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．[答案] 3 　直线与圆锥曲线的位置关系[学生用书] [典例引领]　在平面直角坐标系xOy中已知椭圆C：＋＝1(ab0)的左焦点为F(－1)，且点P(0)在C上．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l同时与椭圆C和抛物线C2：y＝4x相切求直线l的方程．【解】　(1)因为椭圆C的左焦点为F(－1)， 所以c＝1.将点P(0)代入椭圆方程＋＝1得＝1即b＝1所以a＝b＋c＝2.所以椭圆C的方程为＋y＝1.(2)由题意可知直线l的斜率显然存在且不等于0设直线l的方程为y＝kx＋m由消去y并整理得(1＋2k)x2＋4kmx＋2m－2＝0.因为直线l与椭圆C相切所以Δ＝16k－4(1＋2k)(2m2－2)＝0.整理得2k－m＋1＝0.①由消去y并整理得k＋(2km－4)x＋m＝0.因为直线l与抛物线C相切所以Δ＝(2km－4)－4k＝0整理得km＝1.②综合①②解得或所以直线l的方程为y＝＋或y＝－－ 直线与圆锥曲线位置关系的判断方法直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数可以研究直线与圆锥曲线的位置关系即用代数法研究几何问题这是解析几何的重要思想方法．直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点问题实际上是研究方程组解　　已知直线l：y＝2x＋m椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点．[解] 将直线l的方程与椭圆C的方程将①代入②整理得9x＋8mx＋2m－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m)－4×9×(2m－4)＝－8m＋144.(1)当Δ0即－3时方程③有两个不同的实数根可知方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0即m＝3时方程③有两个相同的实数根可知方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．　弦长问题[学生用书] [典例引领] 　(2017·宜春中学与新余一中联考)设椭圆M：＋＝1(ab0)的离心率与双曲线x－y＝1的离心率互为倒数且椭圆的长轴长为4.(1)求椭圆M的方程；(2)若直线y＝＋1交椭圆M于A两点(1，)为椭圆M上一点求△PAB的【解】　(1)由题可知双曲线的离心率为则椭圆的离心率e＝＝由2a＝4＝＝a－c得a＝2＝＝故椭圆M的方