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第六章 数值积分与数值微分
两种情形
① 函数用表格形式给出的无法直接求积分或求导。
② 函数的解析表达式结构复杂,不宜求积或求导。此时需研究数值方法、数值积分、数值微分。
6.0求积公式
—— 欲求 (6.0-1)
1. 求积公式与余项
已知f (xi) = f i,i = 0,1,2,…,n
取 (6.0-2)
称(6.0-2)为求积公式,其中Ai(i = 0,1,2,…,n)为求积系数,只与节点x0,x1,…,xn有关,而与f无关,
称 (6.0-3)
为求积公式(6.0-2)的余项或截断误差。
特别若Pn(x)为f的插值多项式,则称
为插值型求积公式。
2. 代数精度
——刻划求积公式的优劣。—— 希望对尽可能多的函数能准确成立。
定义6.0-1 若求积公式(6.0-2)满足:
① ( 0 ( k ( m,(
②
则称该求积公式具m次代数精度。
注:① 若,则称求积公式对函数f能精确成立。
“m次代数精度”即对不超过m次的多项式余项为0,而m + 1次则不能。
② 求积公式是m次代数精度
( ( 0 ( k ( m,有但
即有P418 (6.0-4)成立.
例1 证明求积分公式是1次代数精度。
证明: f = 1
f = x
但 f = x2
所以 求积公式具有1次代数精度。
例2 设有求积公式
求A0,A1,A2,使其代数精度尽量高,并问此时求积公式的代数精度
解:(3个未知系数需三个方程)
令求积公式分别对f(x) = 1、x、x2准确成立。即
( 解之得A0 = A2 = 1/3,A1 = 4/3,即有。
又易知求积公式对f(x) = x3也准确成立:。
但
所以该求积公式具3次代数精度。
注:构造求积公式的方法很多,最直接的方法是作插值型求积公式。
6.1 Newdon-Cotes求积公式
1. 插值型求积公式
设Pn(x)为f的Lagrange插值多项式。
其中li(x) (i = 0,1,2,…,n)为Lagrange插值基函数,求积系数为 (6.1-2)
余项为 (6.1-3)
. =
其中(((a,b)依赖于x.
Th6.1-1 n + 1个节点的插值型求积公式至少具有n次代数精度。
证明:若f(x)为次数不大于n的多项式,则f (n+1)(x) = 0,从而Rn(f ) = 0。即该求积公式至少是n次代数精度。
2. Newdon——Cotes公式
(1) 定义考虑等距节点的求积公式
将[a,b] n等分,h = (b – a)/n为步长,节点为等分点,xk = a + kh, (k = 0,1,2,…,n)
令x = a + th = x – xk=(t – k)h.
.
其中 ( 6.1-4)。
称Ci(n)为Cotes系数,称 (6.1-5)
为n阶Newdou—Cotes求积公式
注:①Cotes系数Ci(n)只与n,i有关,与被积区间、被积函数均无关。〈可单独写出〉
② n = 1,,
n = 2,
其余见表(6.1-1) P422
(2) 性质
① 在6.1-5中令f (x) ( 1即得
②
③ n ( 7时Ci(n) 0,n ≥ 8时,不然。
(3) 特例
n = 1, (6.1-6)
称为梯形公式,具1次代数精度。
n = 2, (6.1-7)
称为Simpson公式或抛物公式,具3次代数精度。
n = 4, (6.1-8)
称为Cotes公式,具5次代数精度。
例1:分别用梯形,Simpson,Cotes公式求的近似值。
解:函数值:
x 0 0.25 0.5 0.75 1 f 1 1/2 4/5 16/17 16/25 梯形:
Simpson:
Cotes:
准确值:0.785398163…
Th6.1-2 当n为偶数时,n + 1个节点的N-C公式,至少具有n + 1次代数精度。
证明:不妨设n = 2k,令f(x) = xn+1,则f (n+1)(x) = (n + 1)!
=
其中为u的奇函数,积分区间关于原点对称
3. N-C公式的余项。
考虑
=
(1) 梯形公式的余项 R1(f )
因为f [x0,x1,x](C[a,b],(x – a)(x – b)不变号,故由积分第二中值定理。
所以当((C2[a,b]时有
= (6.1-11)
(2) Simpson公
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