《数值分析》课程讲义 6 数值积分与微分.docVIP

第六章 数值积分与数值微分 两种情形 ① 函数用表格形式给出的无法直接求积分或求导。 ② 函数的解析表达式结构复杂，不宜求积或求导。此时需研究数值方法、数值积分、数值微分。 6.0求积公式 —— 欲求 (6.0-1) 1. 求积公式与余项 已知f (xi) = f i，i = 0，1，2，…，n 取 (6.0-2) 称(6.0-2)为求积公式，其中Ai（i = 0，1，2，…，n）为求积系数，只与节点x0，x1，…，xn有关，而与f无关， 称 （6.0-3） 为求积公式(6.0-2)的余项或截断误差。 特别若Pn(x)为f的插值多项式，则称 为插值型求积公式。 2. 代数精度 ——刻划求积公式的优劣。—— 希望对尽可能多的函数能准确成立。 定义6.0-1 若求积公式(6.0-2)满足： ① ( 0 ( k ( m，( ② 则称该求积公式具m次代数精度。 注：① 若，则称求积公式对函数f能精确成立。 “m次代数精度”即对不超过m次的多项式余项为0，而m + 1次则不能。 ② 求积公式是m次代数精度 ( ( 0 ( k ( m，有但 即有P418 (6.0-4)成立. 例1 证明求积分公式是1次代数精度。 证明： f = 1 f = x 但 f = x2 所以 求积公式具有1次代数精度。 例2 设有求积公式 求A0，A1，A2，使其代数精度尽量高，并问此时求积公式的代数精度 解：（3个未知系数需三个方程） 令求积公式分别对f(x) = 1、x、x2准确成立。即 ( 解之得A0 = A2 = 1/3，A1 = 4/3，即有。 又易知求积公式对f(x) = x3也准确成立：。 但 所以该求积公式具3次代数精度。 注：构造求积公式的方法很多，最直接的方法是作插值型求积公式。 6.1 Newdon-Cotes求积公式 1. 插值型求积公式 设Pn(x)为f的Lagrange插值多项式。 其中li(x) (i = 0，1，2，…，n)为Lagrange插值基函数，求积系数为 (6.1-2) 余项为 （6.1-3） . = 其中(((a，b)依赖于x. Th6.1-1 n + 1个节点的插值型求积公式至少具有n次代数精度。 证明：若f(x)为次数不大于n的多项式，则f (n+1)(x) = 0，从而Rn(f ) = 0。即该求积公式至少是n次代数精度。 2. Newdon——Cotes公式 (1) 定义考虑等距节点的求积公式 将[a，b] n等分，h = (b – a)/n为步长，节点为等分点，xk = a + kh， (k = 0，1，2，…，n) 令x = a + th = x – xk=(t – k)h. . 其中 ( 6.1-4)。 称Ci(n)为Cotes系数，称 （6.1-5） 为n阶Newdou—Cotes求积公式 注：①Cotes系数Ci(n)只与n，i有关，与被积区间、被积函数均无关。〈可单独写出〉 ② n = 1，， n = 2， 其余见表(6.1-1) P422 (2) 性质 ① 在6.1-5中令f (x) ( 1即得 ② ③ n ( 7时Ci(n) 0，n ≥ 8时，不然。 (3) 特例 n = 1， (6.1-6) 称为梯形公式，具1次代数精度。 n = 2， (6.1-7) 称为Simpson公式或抛物公式，具3次代数精度。 n = 4， (6.1-8) 称为Cotes公式，具5次代数精度。 例1：分别用梯形，Simpson，Cotes公式求的近似值。 解：函数值： x 0 0.25 0.5 0.75 1 f 1 1/2 4/5 16/17 16/25 梯形： Simpson： Cotes： 准确值：0.785398163… Th6.1-2 当n为偶数时，n + 1个节点的N-C公式，至少具有n + 1次代数精度。 证明：不妨设n = 2k，令f(x) = xn+1，则f (n+1)(x) = (n + 1)! = 其中为u的奇函数，积分区间关于原点对称 3. N-C公式的余项。 考虑 = (1) 梯形公式的余项 R1(f ) 因为f [x0，x1，x](C[a，b]，(x – a)(x – b)不变号，故由积分第二中值定理。 所以当((C2[a，b]时有 = (6.1-11) (2) Simpson公