《复变与积分变换》教案.doc

《复变与积分变换》教案 目录 第一次课 2 第二次课 4 第3次课 8 第四次课 9 第五次课 11 第六次课 13 第七次课 16 第八次课 17 第九次课 19 第10次课 20 第11次课 21 第12次课 22 第13次课 23 第14次课 24 第15次课 25 第16次课 26 参考文献 27 习题答案 27 第一次课 1 教学目标： 使学生重温复数概念，熟练掌握复数及共轭下的运算法，了解复平面，学会运用复数的三角表示出理问题。 2 讲课段落： 复数产生的背景，特点； 平面向量和复数的关系； 共轭复数的作用； 三角表示； 复方根求法； 复数定义与平面向量变换的内在联系。 3 知识要点： ， ， 4. 例： 例1-1 设 ，求。 例1-2 设 ，求， 例1-3 设及为两个复数，试证： 并用此等式证明三角不等式 推导，当, 当, 当, 例1-4 求和 6（较难） 设 则有 例1-7 试求的模和主幅角 见解， 相当于将向量｛0，1｝逆时针旋转度角，从而得到向量，而此向量对应复数，这也可解释为的根。 求 复数 的四次方根。 单位圆内接正边形的顶点的复数表示。 第二次课 1 教学目标： 使学生熟练二维平面图形的复形式，熟练掌握复变函数的分量处理法，重温二元微积分，并赋以复的外衣而导出复变量，复数列，复变函数增量和复积分等知识。 2 讲课段落： 平面曲线（定向）和区域； 复变函数的分量处理法； 二维平面图形的复形式； 复变量，复数列，复变函数的极限和连续性； 复变函数的增量； 复积分定义和计算， 复积分的性质。 3 知识要点： 无重点的按段光滑闭曲线简称为简单闭曲线。数学上可证明任一条在平面上有确定的始端和终端的简单曲线是可求长的，特别是任一条简单闭曲线总是有有限长度的。 对给定点和正数，称 为的一个邻域。 平面上的区域为可用折线连通的开集. 本课程中经常出现的多连域为有限条简单闭曲线按以下方式围成的区域：设分别为的内部区域，满足 (1) , (2) , , (3) , 。 称此多连域为复围线围成的区域, 即。也称为的边界。而数学上称即连同一起的集合为多连域的闭包，也记为。而复围线:的正向定义为，在上取逆时针方向，而在上都取顺时针方向。 经变换　 ， 　， 得到Ｃ的复数表示 若平面曲线参数方程为 ，， 则其复数表示为 ， 所以一个复变函数相当于两个二元函数，即 4. 例： 例1-11 求以为心，R为半径的圆周参数方程复数形式。 例1-12考察平面上的曲线具有下列复数形式：，并给出该曲线实形式的代数方程。 例1-13 关于的映射特征的两种描述方法。 例1-14 的整体处理。 例1-15 证明 在复平面上，除去原点和负实轴，都连续。 例1-17 （重要的常用例子） 例1-18计算，其中为中心在实轴上的连接上半平面内两点的一段圆弧。 第3次课 教学目标：讲解习题以巩固复变函数的基本知识。 才是实数。为自然数,是实数,但不是实数,求。 确定的曲线,是以两点为直径的端点的圆周。表示的是以为中心,1为半径的圆。组成的点集是什么?如果是区域,指明是有界的还是无界的,闭的还是开的,单连通的还是复连通的,并作图。 已知映射,求 点平面上的象;区域在平面上的象。存在且有限,证明在点的某一邻域内是有界的。在点连续,且。: 存在点的某一邻域,使得在此邻域内恒不为零。 第四次课 1 教学目标： 按一元微积分的方式引入复变函数导数的定义，必然涉及二元微分学，导致C-R条件的建立。理解解析函数的概念，掌握解析函数的充要条件。 2 讲课段落： 复变函数导数的定义; 复变函数小增量公式和C-R条件； 解析函数的概念； 判别解析函数的充要条件； 3 知识要点： Cauchy-Riemann条件： ， 设在一个区域Ｄ内有定义，若在内处处可导，称在解析。 若存在，在内处处可导，称在解析。 在一点解析的判别定理和一区域上的解析函数的判别 设在区域内解析，并且,则； 反函数求导公式：设在区域解析，且当时，， 又设为的单值连续反函数，满足， 则在区域解析，且有 。 4. 例： 例2-1．若在可导，则在连续。 例2-2 证明 。 例2-3 在复平面上处处不可导。 例2-4 当且仅当可导。 例2-5　在复平面不解析。 例2-6 判别下列函数是否解析： （1）； （2）。 例2-8求 的导数。 第五次课 1 教学目标：复习解析函数的充要条件，引进复变初等函数。掌握基本初等函数的特性和