常微分期末复习试题（华南理工大学）常微分方程试卷1答案.docVIP

《 常微分方程 》试卷(A)答案： 一. 填空题（每小题3分, 共15分） 1.　2; 2. ; 3. ; 4. ; 5. . 二．单项选择题（每小题3分, 共15分） 　 　1. B 2. c 3. D 4 . C 5. B 三. 求下列微分方程的解 ( 共36分) 1.　，　令　（2分） 　则 ，（4分） 两边积分，得通解　　（6分） 代入 得原方程通解： 特解：包含在通解中.　　（７分） 　　2. 　令　　 则　为伯努利方程. 　２分） 令　 则 　　（３分） 　 　　　　 （５分） 　得通解：． （7分） 　 ３．令　　　（１分） 　　积分因子　　（4分） 通解：　（6分） 特解: （7分） 4. 令 则 （1分） 设 ，则 . （3分） （5分） 方程通解: 即（6分） 特解: （7分） 5 特征根：　对应齐次线性方程通解: （３分） 原方程特解设为：，　　　（５分） 代入原方程，可得： 　即　（７分） 所求通解为：.　　（８分） 四．　特征根：　　　　　　　　 　　（２分） 　　　对应特征向量 ；　对应特征向量 ； （４分） 基解矩阵 ，　，　 (６分） 　　 （１０分） 五．　　　　　　 （２分） 取　　则　　定正． 　　（４分） 　　定负，　　 　（６分）　　 故零解渐近稳定．　　　　　　　　　　　　　　　 　　(8分) 六． 证明: 方程的非零解 充分性: （4分） 必要性: （8分） 七. 证明: 特征根: 对应齐次线性方程通解: (2分) 常数变易: 代入原方程, 取 (3分) 解出 (4分) 于是 (5分) 由于 而 得到 同理可得, 于是 (8分)