常微分期末复习试题（华南理工大学）常微分方程试卷2答案.docVIP

《 常微分方程 》试卷(A)答案： 一. 填空题（每小题3分, 共15分） 1.　; 2. ; 3. ; 4. ; 5. . 二．单项选择题（每小题3分, 共15分） 　 　1. C 2.A 3. D 4 . C 5. B 三. 求下列微分方程的解 ( 共36分) 1.　分离变量：　　　（3分） 　　　　两边积分，得通解　　（6分） 有特解：　　　　　　　　　　（７分） 　　2. 　令　　 则　　　　　　（２分） 　　　　　　（３分） 　 　　　　 （５分） 　得通解：． （7分） 　 ３．令　　　　（１分） 　　积分因子　　（4分） 通解：　　（7分） ４．的特征根：　通解：（３分） 原方程特解设为：，　　　　　（５分） 代入原方程，可得：　 　即　（７分） 所求通解为：　　　　（８分） ５．　特征根: 对应齐次线性方程通解: (2分) 常数变易: 代入原方程, 取 (4分) 解出 (6分) 于是通解为 . (7分) 四．　特征根：　　　　　　　　 　　（２分） 　　　对应特征向量 ；　对应特征向量 ； （４分） 基解矩阵 ，　，　 (６分） 　　 （１０分） 五．　　　　　　 （２分） 取　　则　　定正． 　　（４分） 　　定负，　　　　　　　　　　 　（６分）　　　 故零解渐近稳定．　　　　　　　　　　　　　　　 　　(8分) 六． （3分） （6分） 于是 为积分因子. （8分） 七. 证明: 分三个命题: 作逐步逼近序列: (2分) 命题1：在上有定义, 连续且满足不等式 (3分) (命题1的证明与书上类似,此处略.) 命题2：在上一致收敛. (6分) 证明: 在上 设 则 由归纳法知, . 由于 , 则为单调增加且有界的函数列, 因此在上收敛. 设 再利用的单调性, 由狄尼(Dini)定理知，在上一致收敛. 命题3：为积分方程在上的连续解. (8分) 证明: 由在区域 上连续, 可得 在上, . 由狄尼(Dini)定理知，在上一致收敛, 于是 .