常微分期末复习试题（华南理工大学）习题3.3.docVIP

习题3.3 1．Proof若（1）成立则及，，使当 时，初值问题 的解满足对一切有, 由解关于初值的对称性，（3，1）的两个解及都过点，由解的存在唯一性 ，当时 故 若（2）成立，取定，则，，使当 时,对一切有 因初值问题 的解为，由解对初值的连续依赖性， 对以上，，使当 时 对一切有 而当时，因 故 这样证明了对一切有 2．Proof：因及都在G内连续，从而在G内关于满足局部Lipschitz条件，因此解在它的存在范围内关于是连续的。 设由初值和足够小）所确定的方程解分别为 ， 即， 于是 因及、连续，因此 这里具有性质：当时，；且当时，因此对有 即 是初值问题 的解，在这里看成参数0显然，当时，上述初值问题仍然有解。根据解对初值和参数的连续性定理，知是的连续函数，从而存在 而是初值问题 的解，不难求解 它显然是的连续函数。 3．解：这里满足解对初值的可微性定理条件 故： 满足的解为 故 4．解：这是在（1，0）某领域内满足解对初值可微性定理条件，由公式 易见是原方程满足初始条件的解 故