常微分期末复习试题（华南理工大学）习题0301.docVIP

习题3.1 1 求方程=x+y通过点(0,0)的第三次近似解； 解： 取 = 2 求方程=x-y通过点(1,0)的第三次近似解； 解： 令 则 = 3 题 求初值问题： R：1，1 的解的存在区间，并求解第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计； 解： 因为 M=max{}=4 则h=min(a,)= 则解的存在区间为== 令 =0 ; =y+dx=x+; =y+dx=x---+ 又 =L 则：误差估计为：= 4 题 讨论方程：在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件， 并求通过点（0，0）的一切解； 解：因为=在y上存在且连续； 而在上连续 由 有：=（x+c） 又 因为y(0)=0 所以：=x 另外 y=0也是方程的解； 故 方程的解为：= 或 y=0; 6题 证明格朗瓦耳不等式： 设K为非负整数，f(t)和g(t)为区间上的连续非负函数， 且满足不等式： f(t)k+, 则有：f(t)kexp(), 证明：令R（t）=,则(T)=f(t)g(t) (T)-R(t)g(t)= f(t)g(t)- R(t)g(t) kg(t)(T)- R(t)g(t)kg(t); 两边同乘以exp(-) 则有： (T) exp(-)-R(t)g(t) exp(-) kg(t) exp(-) 两边从到t积分： R(t) exp(-)-exp(-)ds 即 R(t) exp(-)ds 又 f(t) 1k+R(t) k+kexp(-)ds k(1-1+ exp(-)=k exp() 即 f(t) k; 7题 假设函数f(x,y)于（x,y）的领域内是y的 不增函数，试证方程 = f(x,y)满足条件y(x)= y的解于x x一侧最多只有一个解； 证明：假设满足条件y(x)= y的解于x x一侧有两个(x),(x) 则满足： (x)= y+dx (x)= y+dx 不妨假设(x)(x)，则(x)- (x)0 而(x)- (x)= dx-dx =dx 又因为 f(x,y)在（x,y）的领域内是y的 增函数，则： f(x, (x))-f(x, (x))0 则(x)- (x)= dx0 则(x)- (x)0 所以 (x)- (x)=0， 即 (x)= (x) 则原命题方程满足条件y(x)= y的解于x x一侧最多 只有一个解；