概率论精品教学（华南理工大学）第3.1随机变量及其分布（1）离散型.pdfVIP

第3.1节 随机变量及其分布(1) 一、随机变量的定义 二、分布函数的性质 三、离散型随机变量 四、连续型随机变量 五、关于分布函数的一些结论 一、随机变量及其分布函数 随机变量的引进,是概率论研究的重大事 件，在随机变量引进之前，我们只是孤立地 研究一个或几个事件，引进 机变量后，我 们可用联系的观点来研究问题，进而把所有 事件都联系起来。随机变量的引进，使得我 们还可以利用其他的数学工具来研究概率论 中的问题。 随机变量的定义 有些随机试验的结果本身就是数量。 例1：投一枚骰子所得的点数，这时样本空间 ={1， ，6} ，试验结果本身就是数量。 例2 ：对于某电话总机在时间(0,T] 内收到的呼叫次 数，这时样本空间 ={0,1，2， ,k， } ，k 表示在(0,T] 内收到k次呼叫。 有些随机试验的结果本身不是数量，但可以用 数量来表示。 w w 例3 抛一枚硬币，可能结果： =“正面向上”，2 1 w w =“反面向上”，样本空间 ={ 1 ， } ，但如 2 果分别用0，1表示“反面向上”和“正面向上”，则 样本空间可以表示为Ω={ 0,1}。 在上述例子中，很容易建立“样本点”与“数”之 w 间的对应关系，即对每一样本点 ，可有一个数 x (w ) 与之对应。在例1,例2 中，取x (w ) w , 在例3 中，取x (w ) 1, x (w ) 0 。 1 2 我们把这种定义在样本空间 上的函数称为 随机变量。这种函数的取值是不能预先确定的， 是随机的，因而称为随机变量。 正象我们并不把 的任一子集定义为事件一 样，我们也并不把 上的任何函数也都作为随机 变量，而是对这些函数有一定的限制，为此引入 如下的随机变量的数学定义。 定义3.1.1设E 是 机试验, x (w ) 定义在概率空间 (W,F , P )上的单值实值函数x (w), 对于直线上的任 B , {w :x (w ) B } F x (w ) 一博雷尔点集 有 ,则称 为 随机变量. 简记为x .而P {x (w) B}称为 机变量 x (w )的概率分布. 随机变量通常用大写字母X, Y,Z或希腊字母x η, ζ等表示. 正如对 机事件一样,我们所关心的不仅是 试验会出现什么结果,更重要的是要知道这些结 果以怎样的概率出现,也即对 机变量,我们不但 要知道它取什么值,而且要知道它取这些值的概 率. 从随机现象的可能出现的结果来看,随机变量至 少有两种不同类型:一种是试验结果x (w) 可能取得 值为有限个或至多可列个,我们能把其可能结果一 一列举出来,这种类型的随机变量称为离散型随机