线性代数 第四章 线性空间 4.2 维数、基和坐标.ppt

* * §4.2 维数、基与坐标 一. 线性空间的基与维数 二. 元素在给定基下的坐标 三. 基变换与过渡矩阵 五. 小结、思考题 四. 坐标变换公式 主要内容 　　已知：在Rn中，线性无关的向量组最多由n个向量组 成，而任意n+1个向量都是线性相关的． 　　问题：线性空间的一个重要特征——在线性空间 V 中，最多能有多少线性无关的向量？ 一、线性空间的基与维数 定义4.4 在线性空间V 中，如果存在 n个元素 满足： 维数, 当一个线性空间V 中存在任意多个线性无关的向量时，就称V 是无限维的． 记作dimV＝n ; 注1 (1) 只含有零向量的向量空间没有基,规定其维数为0. (2) 如果把向量空间看作向量组,可知,V 的基就是向量组 的极大无关组,V 的维数就是向量组的秩. (3) 向量空间的基不唯一. n 维线性空间， ——这正是我们早在§3.2中 显然， 的任意n个线性无关向量都构成 的一组基，从 而 有无穷多组基。例如，n 维基本向量组 就是 的一组基（称作自然基或标准基），于是 是 就称 为n 维线性空间的原因。 组基，但不同的基中所含的向量的个数却是相同的. 注2 零空间中没有线性无关向量，所以没有基。 作为全体n 维向量的集合，基是它的一个极大线性 无关组，而维数则是它的秩，所以虽然 有无穷多 因为 中任意向量 由 的一组已知基线性表示的 表示系数是唯一的，所以我们可以定义坐标的概念. （由于本书只着重讨论 中的问题，所以下面的讨论只 在 中进行，事实上涉及到的的概念与性质均可移植 到一般线性空间上来） 定义4.5 二、元素在给定基下的坐标 注3 线性空间V 的任一元素在不同的基下所对应的坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是唯一的． 例2 例3　所有二阶实矩阵组成的集合V,对于矩阵的加法和数 量乘法，构成实数域 R上的一个线性空间．对于 V 中的 矩阵 那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什么关系呢？ 换句话说，随着基的改变，向量的坐标如何改变呢？ 问题：在 n 维线性空间 V中，任意 n 个线性无关的向量 都可以作为 V 的一组基．对于不同的基，同一个向量的 坐标是不同的． 三、基变换公式与过渡矩阵 称此公式为基变换公式． 由于 基变换公式 矩阵 P 称为由基 到基 的过渡矩阵． 注4 过渡矩阵 P 的第 j 列元素恰为 在基 下的坐标． 注5 过渡矩阵 P 是可逆的，且 即矩阵 P－1 称为由基 到 的过渡矩阵． 如 R2 中有两组基 求由基 的过渡矩阵与 的过渡矩阵. 的过渡矩阵为 的过渡矩阵为 若两个基满足关系式 四、坐标变换公式 则有坐标变换公式 或 证明 例5 给定R3的两组基 (1) 求 的过渡矩阵； 的坐标为（1，－1，0）T，求 下的坐标； 的坐标为（1，－1，0）T，求 下的坐标. 解 则有 (2)由有坐标变换公式， 下的坐标为 (3)由有坐标变换公式， 下的坐标为