华南理工大学期末考试《数学分析》数分答案.docVIP

诚信应考,考试作弊将带来严重后果！ 华南理工大学考试 《数学分析》(三)――参考答案及评分标准 注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚； 2. 所有答案请直接答在试卷上； 3．考试形式：闭卷； 4. 本试卷共两大题， 满分100分，考试时间120分钟。 题 号 一. 计 算 二. 证 明 总 分 得 分 评卷人 一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。 求函数在点(0,0)处的二次极限与二重极限. 解： ，因此二重极限为.……(4分) 因为与均不存在， 故二次极限均不存在。 ……(9分) 设 是由方程组所确定的隐函数,其中和分别具有连续的导数和偏导数,求. 解： 对两方程分别关于求偏导: ， ……(4分) 。解此方程组并整理得. ……(9分) 取为新自变量及为新函数，变换方程 。 设 （假设出现的导数皆连续）. 解：看成是的复合函数如下： 。 ……(4分) 代人原方程，并将变换为。整理得： 。 ……(9分) 要做一个容积为的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省? 解： 设圆桶底面半径为,高为,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中 目标函数: , 约束条件: 。 ……(3分) 构造Lagrange函数：。 令 ……(6分) 解得，故有 由题意知问题的最小值必存在，当底面半径为高为时，制作圆桶用料最省。 ……(9分) 设,计算. 解：由含参积分的求导公式 ……(5分) 。 ……(9分) 求曲线所围的面积，其中常数. 解：利用坐标变换 由于，则图象在第一三象限，从而可以利用对称性，只需求第一象限内的面积。 。 ……(3分) 则 ……(6分) . ……(9分) 7. 计算曲线积分,其中是圆柱面与平面的交线（为一椭圆），从轴的正向看去，是逆时针方向. 解： 取平面上由曲线所围的部分作为Stokes公式中的曲面，定向为上侧，则的法向量为 。 ……(3分) 由Stokes公式得 ……(6分) ……(9分) 8. 计算积分,为椭球的上半部分的下侧. 解：椭球的参数方程为，其中且 。 ……(3分) 积分方向向下，取负号，因此， ……(6分) ……(9分) 二. 证明题（共3题，共28分）。 9.（9分） 讨论函数在原点(0,0)处的连续性、可偏导性和可微性. 解：连续性：当时， ，当， 从而函数在原点处连续。 ……(3分) 可偏导性：， ， 即函数在原点处可偏导。 ……(5分) 可微性： 不存在， 从而函数在原点处不可微。 ……(9分) 10.（9分） （9分） 设满足： （1）在上连续， （2）， （3）当固定时，函数是的严格单减函数。 试证：存在，使得在上通过定义了一个函数，且在上连续。 证明：（i）先证隐函数的存在性。 由条件（3）知，在上是的严格单减函数，而由条件（2）知，从而由函数的连续性得 ， 。 现考虑一元连续函数。由于，则必存在使得 ， 。 同理，则必存在使得 ， 。 取，则在邻域内同时成立 ， 。 ……(3分) 于是，对邻域内的任意一点，都成立 ， 。 固定此，考虑一元连续函数。由上式和函数关