计算机辅助设计技术基础教程 第5章 计算机辅助几何设计.ppt

第5章 计算机辅助几何设计 5.1 自由曲线 5.2 自由曲面 2) 控制顶点的反求 在实际应用中往往是知道曲线上的型值点,而并不知道特征多边形顶点的位置,为构造B样条曲线,就需要由这些型值点反求出特征多边形的顶点,这就是B样条曲线顶点的反求. 设已知型值点列Qi(i=1,2,…,n-1), 要求一条三次B样条曲线经过这些点,求出这条曲线的控制顶点Pi(i=0,1,…,n). 由曲线的端点性质可得下列线性方程组: Pi-1+4Pi+Pi+1=6Qi (i=1,2,…,n-1) 再补充两个边界条件就可得到唯一解. 例如,已知Q1和Qi-1处的切矢,则有 把它们写成矩阵形式为 5.1.5 非均匀有理B样条（NURBS）曲线 它提供了解析曲线(如圆锥曲线)和自由曲线统一的数学描述,便于工程数据库的管理和应用. NURBS曲线的定义: 给定n+1个控制点Pi(i=0,1,…,n)及其权因子Wi (i=0,1,…,n),则k阶(k-1次)NURBS曲线的表达式为: 缺点:计算量大、当权因子为零和负值时容易引起计算的不稳定，导致曲线畸变，因此使用NURBS时应有适当的限制以保证算法的稳定性。 5.2 自由曲面 5.2.1 参数曲面的概念 5.2.2 双三次曲面片的数学表示 5.2.3 曲面的反算、拼接和互化 5.2.4 新的自由曲面造型技术 5.2.1 参数曲面的概念 P(u,w)=[x(u,w),y(u,w),z(u,w)] 0=u,w=1 0 1 1 u w (u,w) u和w向切矢： 四个角点的u向和w向切矢为：Pu(0,0)、 Pu(1,0)、 Pu(0,1) 、Pu(1,1)、Pw(0,0)、 Pw(1,0)、 Pw(0,1) 、Pw(1,1). 混合偏导矢（扭矢）： 四个角点的扭矢为： Puw(0,0)、 Puw(1,0)、 Puw(0,1) 、Puw(1,1) * CAD中由已知曲线或曲面的数学方程生成的曲线曲面称为规则曲线曲面，常用隐函数或二次方程的显函数表示。但在汽车、轮船、飞机、模具、艺术品等产品设计中，存在大量的不能用二次曲面描述的曲线曲面，这类曲线曲面称为自由曲线（Free Form Curves）和自由曲面（Free Form Surfaces），这是计算机辅助几何设计研究的主要几何形状。 5.1 自由曲线 5.1.1 曲线曲面描述的基本原理 5.1.2 Hermite曲线 5.1.3 Bezier曲线 5.1.4 B样条曲线 5.1.5 非均匀有理B样条（NURBS）曲线 5.1.1 曲线曲面描述的基本原理 自由曲线可以是由一系列的小曲线段连接而成，自由曲面可以是由无数个小的曲面片拼合而成。因此，曲线曲面的研究重点是曲线段或曲面片的描述及其连接拼合方法。 1. 几何设计的基本概念 在自由曲线和曲面描述中常用三种类型的点： （1）特征点（控制顶点）：用来确定曲线曲面的形状位置，但曲线或曲面不一定经过该点。 （2） 型值点：用于确定曲线或曲面的位置与形状并且经过该点。 在曲线曲面设计中，通常是用一组离散的型值点或特征点来定义和构造几何形状，并且所构造的曲线曲面应满足光顺的要求。这种曲线曲面定义的主要方法是插值和逼近。 （1）插值：给定一组精确的数值点，要求构造一个函数，使之严格地依次通过全部型值点，且满足光顺的要求。 （2）逼近：对于一组给定的控制顶点，要求构造一个函数，使之在整体上最接近这些控制点而不一定通过这些点。 （3）光滑(smooth)：从数学意义上讲，光滑是指曲线或曲面具有至少一阶连续导数。 （4）光顺(fair)：至今仍是一个模糊的概念，尚无统一的标准。一方面有主观的因素，另一方面与应用背景相关。但仍有一些客观标准及处理方法。 曲线曲面可以用隐函数、显函数或参数方程表示。用隐函数表示不直观，作图不方便（如ax+by+c=0）；用显函数表示存在多值性（如x2+y2=r2）和斜率无穷大（如y=mx+b）等问题。此外，隐函数和显函数只适合表达简单、规则的曲线曲面。 自由曲线曲面多用参数方程表示，相应地称为参数曲线或参数曲面。 空间的一条曲线可以表示成随参数t变化的运动点的轨迹，其矢量函数为： P(t)=P(x(t),y(t),z(t)) ， t 的范围是 [0,1] 同理，空间中的一张曲面可用参数(u,v)表示为： P(u,v)=P( x(u,v),y(u,v),z(u,v)) ， (u,v) 的范围是 [0,1]×[0,1