《应用多元分析》第三版 第八章 因子分析.ppt

表8.3.2 当m=2时的主因子解 变 量 因子载荷 共性方差 f1 f2 ：100米 0.807 0.496 0.897 ：200米 0.858 0.412 0.906 ：400米 0.890 0.216 0.856 ：800米 0.939 0.024 0.881 ：1500米 0.956 ?0.114 0.926 ：5000米 0.938 ?0.282 0.960 ：10000米 0.946 ?0.281 0.974 ：马拉松 0.874 ?0.378 0.907 所解释的总方差的累计比例 0.816 0.914 三、极大似然法 设公共因子f～Nm(0,I)，特殊因子ε～Np(0,D)，且相互独立，则必然有原始向量x～Np(μ,Σ)。由样本x1,x2,?,xn计算得到的似然函数是μ和Σ的函数L(μ,Σ)。由于Σ=AA′+D，故似然函数可更清楚地表示为L(μ,A,D)。记(μ,A,D)的极大似然估计为( )，即有 可以证明， ，而 满足以下方程组： 其中 。由于A的解是不惟一 的，故为了得到惟一解，可附加计算上方便的惟一性条件： A′D?1A是对角矩阵 上述方程组中的 一般可用迭代方法解得。 对极大似然解，当因子数增加时，原来因子的估计载荷及对x的贡献将发生变化，这与主成分解及主因子解不同。 例8.3.3 在例7.3.2中，取m=2，极大似然法的计算结果列于表8.3.3。 的初始估计值与例8.3.2相同。 表8.3.3 当m=2时的极大似然解 变 量 因子载荷 共性方差 f1 f2 ：100米 0.731 ?0.620 0.919 ：200米 0.792 ?0.545 0.924 ：400米 0.855 ?0.343 0.849 ：800米 0.916 ?0.161 0.865 ：1500米 0.958 ?0.026 0.918 ：5000米 0.972 0.144 0.966 ：10000米 0.981 ?0.143 0.982 ：马拉松 0.923 ?0.249 0.914 所解释的总方差的累计比例 0.801 0.917 §8.4 因子旋转 因子的解释带有一定的主观性，我们常常通过旋转公共因子的方法来减少这种主观性。 公共因子是否易于解释，很大程度上取决于因子载荷矩阵A的元素结构。 如果载荷矩阵A的所有元素都接近0或±1，则模型的公共因子就易于解释。反之，如果载荷矩阵A的元素多数居中，不大不小，则对模型的公共因子往往就不易作出解释，此时应考虑进行因子旋转，使得旋转之后的载荷矩阵在每一列上元素的绝对值尽量地拉开大小距离。 因子旋转方法有正交旋转和斜交旋转两类，本章只讨论正交旋转。 对公共因子作正交旋转相当于对载荷矩阵A作一正交变换，右乘正交矩阵T，使A*=AT能有更鲜明的实际意义。旋转后的公共因子向量为f*=T′f，它的几何意义是在m维空间上对原因子轴作一刚性旋转。 因子旋转不改变共性方差，这是因为 A*A*′=ATT′A′=AA′ 正交矩阵T的不同选取法构成了正交旋转的各种不同方法，在这些方法中使用最普遍的是最大方差旋转法(varimax)，本节仅介绍这一种正交旋转法。 例8.4.1 在例8.3.1至例8.3.3中分别使用最大方差旋转法，旋转后的因子载荷矩阵列于表8.4.1。 表8.4.1 旋转后的因子载荷估计 变 量 主成分 主因子 极大似然 ：100米 0.274 0.935 0.287 0.903 0.288 0.914 ：200米 0.376 0.893 0.381 0.872 0.379 0.883 ：400米 0.543 0.773 0.541 0.751 0.541 0.746 ：800米 0.712 0.627 0.695 0.631 0.689 0.624 ：1500米 0.813 0.525 0.799 0.537 0.797 0.532 ：5000米 0.902 0.389 0.895 0.399 0.899 0.397 ：10000米 0.903 0.397 0.900 0.405 0.906 0.402 ：马拉松 0.936 0.261 0.909 0.284 0.914 0.281 所解释的总方 差的累计比例 0.523 0.938 0.510 0.914 0.512 0.917 三种方法的因子载荷估计经因子旋转之后给出了大致相同的结果， 在因子 上的