《线性代数》第三章 线性方程组 第2节 n维向量空间.ppt

* §3.2 n维向量空间 一、向量的概念 定义3.1 n个实数组成的有序数组 称为一个n维向量，其中第i个数称为该向量的第i个分量. 向量一般用 等希腊字母表示，有时也可用 等 英文小写黑体字母表示，而向量的分量则用英文小写字母 等加下标表示. 记 称 为n维行向量. 根据问题的需要，向量需用列的形式表示，如 列向量也可以记为 一般n维行(列)向量可以看作1×n矩阵(n×1矩阵)，反之亦然. 称 为n维列向量. 例1 矩阵 按行分块为 在解析几何中，平面上一点的坐标和空间中一点的坐标 可以分别用二维行向量(x,y)和三维行向量(x,y,z)表示. 其中 称为矩阵A 的行向量组. 矩阵A也可以按列分块为 其中 称为矩 阵A的列向量组. 例2 在线性方程组(3.1)中，方程组的常数项可组合成m维 列向量 ；方程组的未知量可组成n维列向量 ；方程组的一个解 是 一个n维列向量. 例3 二、向量的线性计算 如果n维向量 的对应的 分量相等，即 ，则称这两个向量相等，记 作 . 所有分量都是零的向量称为零向量，记作 如果向量 则 的所有分量都等于零. 定义3.2(向量的加法) 设 ，向量 的和 即 所对应分量的和构成的n维向量就是 . 由向量的加法和负向量的定义，还可以定以向量的减法 即 定义3.3(数与向量的乘法) 数k与向量 的各分量的乘积构成的n维 向量，称为数k与向量 的乘积(简称数乘)，记作 ，即 向量的加法和数乘运算，统称为向量的线性运算. 向量的运算满足八条运算律： (加法交换律)； (加法结合律)； (数乘分配律)； (数乘分配律)； (数乘结合律)； 其中 是n维向量，Ｏ是n维零向量，k和l为任意实数. 例4 例5 设向量 解 由已知条件 所以 ，解得