《线性代数》第二章 矩阵 第1-4节.ppt

二、教学重点与难点： 本章重点是矩阵的乘法运算，求矩阵的逆及可逆矩阵的判别法。难点是初等矩阵与初等变换的关系及可逆矩阵的判定。  三、本章内容: 第一节. 矩阵概念 第二节. 矩阵的基本运算 第三节. 几种特殊矩阵 第四节. 矩阵的分块 第五节. 逆矩阵 第六节. 初等变换与初等矩阵 第七节. 矩阵的秩 四、课时分配：15 注意： （1）所有元素均为0的矩阵，称为零矩阵，记作 。 （2）所有元素均为非负数的矩阵，称为非负矩阵。 （3）若矩阵 的行数与列数都等于n,则称A为n阶矩阵（或称n阶方阵）。 （4）由方阵A的元素按原来排列的形式构成的n阶行列式，称为矩阵A的行列式，记作 。 2.矩阵相等 若矩阵A、B有相同的行数与相同的列数，并且对应位置上的元素均相等，则称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B。即 如果 ， 且 则A=B。 例2.已知 解： 例1.若 例6.求与矩阵 可交换的一切矩阵。 则 由 ，有 则 例8.解矩阵方程 X为二阶矩阵。 解：设 即 ① ② 分别解方程组得： 所以有 。 例9.证明：如果 例4.设A与B是两个n阶对称矩阵。证明：当且仅当A与B可交换时，AB是对称的。 证：由于A与B均是对称矩阵，所以 A， B 如果AB=BA则有 所以AB是对称的。 反之，如果AB是对称的，即 例2.如果将矩阵 则 可知： 例3.如果将矩阵A，X分块为 　　同结构的上（下）三角形分块矩阵的和、积，仍是同结构的分块矩阵。 　　　对角分块矩阵的行列式 二、分块矩阵的运算 分块矩阵运算时,把子块作为元素处理。 1、数乘：如果将矩阵 分块为 设k为常数，则kA=k( )=( k )。 2、加法：如果将矩阵 ， 分块为 3、乘法： 例1. 设矩阵 用分块矩阵计算kA，A+B及AB。 解：将矩阵A,B分块如下： 但也有例外，比如设 则有 可交换矩阵： 如果两矩阵A与B相乘，有 则称矩阵A与B可交换。 解：与矩阵A可交换的矩阵必为4阶矩阵，设为 矩阵乘法不满足消去律 例如： 有 但是 例7.若记线性方程组 的系数矩阵为 A= ，B＝ 则有： 所以上面的方程组可以简记为矩阵形式AX=B． AX= 证明：因为 若A是n 阶方阵， 则 为A的 次幂，即 方阵的幂： 并且 方阵的多项式： 例 解： 证之 新矩阵的第 j行第i列元素(i=1,2, …,m;j=1,2, …,n), 定义: 把一个矩阵A m×n 的第i行第j列元素 作为 形成一个n×m的新矩阵,这个新矩阵称为原矩阵A的转置 记作 (或 ) 而 4、矩阵的转置 例如:矩阵 矩阵的转置也是一种运算,它满足下列运算规律 (假设运算都是可行的): (1) ～(3)是明显的,下面证明(4) 证(4) 设 , 记AB= 易见 m×n矩阵. 又 的第 i行第j列元素就是AB的第 j行第i列元素 而 的第 i行第 j列元素 等于 的第i行元素 与 第j列对应元素的乘积之和,也就是B的 第i列元素与Ａ的第ｊ行对应元素的乘积之和,即 和 都是 即 所以 反复应用（4）可得 注意：一般地 例 设矩阵 求 解法一 : 解