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* §2.5. 逆矩阵 逆矩阵的定义、唯一性 矩阵可逆的判别定理及求法 可逆矩阵的性质 逆矩阵的定义、唯一性 概念的引入: 在数的运算中， 当数 时， 有 其中 为 的倒数， （或称 的逆）； 定义：逆矩阵 例 : 设 定义：非奇异矩阵 若n阶矩阵A的行列式 则称A为非奇异矩阵。 奇异矩阵： （退化矩阵） 非奇异矩阵： （非退化矩阵） 唯一性：若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的. 证明： 二、逆矩阵的判定定理 定理1 n阶矩阵A可逆的充分必要条件是A是非奇异的，且当A可逆时， 证明：必要性： 设A可逆，则存在A–1，使AA–1=I 两边取行列式，有|AA–1|=|I|=1 而 |AA–1|=|A||A–1|， 从而得 |A||A–1|=1≠0 所以 |A|≠0，即A非奇异． 充分性： 设A非奇异，则|A|≠0，因此，存在矩阵 使AB=BA=I成立．由定义知A可逆，且 推论： 证明： 说明： 则 逆矩阵的求法一：待定系数法 例1: 设 解： 设 是 的逆矩阵, 又因为 所以 (1) (2) 逆矩阵的求法二：伴随矩阵法 例2：求方阵 的逆矩阵. 解 同理可得 故 解: 例3： 解： 例4： 三、 可逆矩阵的运算性质 证明： 证明： 证明： (5) 若 可逆，则有 注： 例5 若A,B,C是同阶矩阵,且A可逆,证明下列结论中(1),(3)成立,举例说明(2),(4)不成立。 （1）若 AB=AC,则 B=C （2）若 AB=CB,则 A=C （3）若 AB=0, 则 B=0 （4）若 BC=0, 则 B=0 解： * *
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