第04章 连续时间信号与系统的频域分析.ppt

第4章 连续时间信号与系统的频域分析 4.1 周期信号的傅里叶分析 4.2 非周期信号的傅里叶变换 4.3 傅里叶变换的性质 4.4 周期信号的傅里叶变换 4.5 系 统 的 频 域 分 析 4.6 连续时间信号的时域抽样 4.7 用MATLAB进行连续时间信号与系统的频域分析 前面求解连续与离散时间系统的响应时，最常用的信号表示方式是把任意信号分解为有限个或无限个基本信号的线性叠加。已学过的卷积积分就是把输入信号当作无限个加权冲激信号的叠加来处理。还有没有其他基本信号的分解形式呢？有。这就是本章要学习的傅里叶级数和傅里叶变换——把任意信号x(t)分解成正弦（虚指数）函数的线性组合。 无论采取何种方式对信号进行分解、逼近或变换，最终的目的是要寻求一种方法既能方便地求解系统的响应，又能使获得的结果具有明显的物理意义，并用于解释或设计实际系统。 当由线性电阻、电感和电容组成的线性电路输入信号为正弦（虚指数）函数时，输出信号为相同频率的正弦（虚指数）信号，输出与输入信号之间的差异只不过是系数不同。这就提示我们，如果把输入信号x(t)当作正弦（虚指数）函数的线性组合，那么根据线性时不变系统对各个正弦（虚指数）信号分量的响应的叠加，就可以得到系统对输入信号x(t)作用下的响应特性。这种分析方法就是频域分析方法。 4.1 周期信号的傅里叶分析 4.1.1 周期信号表示为正弦信号的线性组合 如果一个信号是周期的，那么对一切t，存在某个正值的T1，有 x(t)=x(t+T1) 正弦信号就是一个典型的周期信号 x(t)=sin(ω1t) 其中ω1=2π/T1称为基波角频率。以此为基础的一个正弦信号集可表示为 ?n(t)=sin(nω1t)n=0，1，2，… 工程中实际的周期函数都可以展开成这样的正弦信号的线性组合的无穷级数。图4.1所示是用正弦信号的组合近似表示周期三角波的过程，可以看到，只需要有限的几个正弦分量的叠加就可以准确表示三角波。 图4.2所示是用正弦信号的组合近似表示周期方波的过程，可以看到，有限的正弦分量的叠加无法准确表示方波，一个方波需要无穷多个正弦分量的叠加才行。 有许多实际的需求要求我们将一个连续时间信号展开为三角函数和式的形式。例如为了从实测的信号中消除高频干扰，需要先把信号表示为三角函数的和式，然后把代表高频干扰的正弦分量（n值大的正弦分量）滤除掉，即把它们的系数bn处理为零，从而可以把有用信号提取出来。 又如，为了以传输最少数据的方式发送信号而进行数据压缩，也需要先将信号用三角函数展开式表示，然后只发送那些振幅较大的正弦分量，较小振幅的正弦分量对信号没有实质性贡献就不用发送，从而可以加快信号传输的速度。 4.1.2周期信号的傅里叶级数 1.傅里叶级数的三角形式 2.频谱 3.傅里叶级数的复指数形式 4.两种形式间的关系 4.1.3 典型周期信号的频谱 1.周期矩形脉冲信号 当脉冲宽度相同，脉冲重复周期T1变大时，相邻谱线间隔减小，谱线变密。可以推断，当脉冲重复周期变得无限大，即成为非周期信号，相邻谱线间隔将趋于0，从而周期信号的离散谱就演变为非周期信号的连续谱。 当脉冲重复周期不变，脉冲宽度变窄时，其频谱包络线零值点的频率越高，即信号的带宽越大，频带内所包含的分量越多。可见，信号的带宽与其脉宽成反比。因此，传输急剧变化的信号往往需要较宽的信道带宽。 2.周期三角脉冲 周期三角波信号如图4.6所示，显然它是一个偶信号。 三角脉冲信号的频谱如图4.7所示。 ? 图4.7周期三角脉冲信号的频谱 4.2 非周期信号的傅里叶变换 前面我们已经讨论了周期信号的傅里叶级数， 并得到了它的离散频谱。 本节我们把上述傅里叶分析方法推广到非周期信号中去， 导出非周期信号的傅里叶变换。 4.2.1从傅里叶级数到傅里叶变换 把非周期信号看作是周期T1趋于无穷大时的周期信号，然后利用已经得到的周期信号傅里叶级数表示式来进行频谱分析。 自从引入广义函数后，在傅里叶变换中允许冲激函数及其各阶导数存在，这样使许多并不绝对可积的函数（如阶跃函数、符号函数和周期函数等），其频谱函数有了确定的表示式，这种引入广义函数后的频谱函数有时也称为广义傅里叶变换。 4.2.2 典型非周期信号的傅里叶变换 本节利用傅里叶变换的定义求解几种典型非周期信号的频谱，然后讨论冲激信号与阶跃信号的频谱。 1. 单位冲激信号 单位冲激信号的频谱等于常数，即其频谱在整