第三章 数据分布特征的描述2.ppt

第二节 分布离散程度的测度 离散趋势 定类数据：异众比率 定序数据：四分位差 定距和定比数据：极差、方差及标准差 相对离散程度：离散系数 一、极 差 1. 一组数据的最大值与最小值之差 2. 离散程度的最简单测度值 3. 易受极端值影响 4. 未考虑数据的分布 例：上述三个组计算全距： 甲组80 80 80 80 80的全距=80-80=0 乙组70 75 80 85 90的全距=90-70=20 丙组2 18 25 96 259的全距=259-2=257 则：因为020257 所以：甲组的平均数的代表性要比乙组和丙组的平均数的代表性大；甲组内部的稳定性要比乙组和丙组内部的稳定性要好。 二、方差和标准差 二、方差和标准差 1. 离散程度的测度值之一 2. 最常用的测度值 3. 反映了数据的分布 4. 反映了各变量值与均值的平均差异 5.根据总体数据计算的，称为总体方差或标准差；根据样本数据计算的，称为样本方差或标准差 （一）总体方差和标准差 未分组数据： 总体标准差（计算过程及结果） （二）样本方差和标准差 未分组数据： 样本方差自由度(degree of freedom) 一组数据中可以自由取值的数据的个数。 当样本数据的个数为 n 时，若样本均值?x 确定后，只有n-1个数据可以自由取值，其中必有一个数据则不能自由取值。 例如，样本有3个数值，即x1=2，x2=4，x3=9，则 ?x = 5。当 ?x = 5 确定后，x1，x2和x3有两个数据可以自由取值，另一个则不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3则必然取2，而不能取其他值。 样本方差(算例) 原始数据: 10 5 9 13 6 8 样本标准差(算例) 样本标准差 总体方差的简化计算公式 分组数据 样本方差的简化计算公式 方差(数学性质) 各变量值对均值的方差小于对任意值的方差 证明提示：设X0为不等于?X 的任意数，D2为对X0的方差，则： （三）标准化值 1. 也称标准分数 2. 给出某一个值在一组数据中的相对位置 3. 可用于判断一组数据是否有离群点（3σ） 4. 用于对变量的标准化处理 5. 计算公式为 例：比较身高 前NBA巨星Michael Jordan身高78英寸，而WNBA运动员R. Lobo身高76英寸，很明显Jordan高出2英寸，但谁相对来说高一些呢？ （男性平均身高69英寸，标准差为2.8英寸；女性平均身高63.6英寸，标准差为2.5英寸） 三、变异系数 某地7岁男童身高均数为123.10cm ，标准差为4.71cm;体重的均数为22.29kg，标准差为2.26kg。 问:是身高的差异大还是体重的差异大 三、标准差系数(概念要点和计算公式) 1.标准差与其相应的均值之比 2.消除了数据水平高低和计量单位的影响 3.测度了数据的相对离散程度 4.用于对不同组别数据离散程度的比较 计算公式为 男童的身高与体重 身高Vσ=4.17/123.10=0.0383 　　 体重V σ =2.26/22.29=0.1014 标准差系数（实例和计算过程） 标准差系数(计算结果) 案例：标志变异指标度量风险 1964—1976年台湾省各种投资工具报酬率比较 几种离散测度的比较 偏态与峰度分布的形状 偏态(概念要点) 1. 数据分布偏斜程度的测度 2. 偏态系数=0为对称分布 3. 偏态系数 0为右偏分布 4. 偏态系数 0为左偏分布 5. 计算公式为 偏度值α 一般在-3 ～ 3之间。 3为极度右偏斜 -3为极度左偏斜 绝大多数变量分布偏斜程度在-1～ 1之间 偏态(实例) 偏态与峰度(从直方图上观察) 偏态系数（计算过程） 偏态系数(计算结果) 峰度(概念要点) 1. 数据分布扁平程度的测度 2. 峰度系数=3为扁平程度适中 3. 峰度系数3为扁平分布 4. 峰度系数3为尖峰分布 5. 计算公式为 峰度系数(实例计算结果) α3=0 α30 α30 (对称分布) 正偏态分布（右） 负偏态分布(左） 【例3.16】已知1997年我国农村居民家庭按纯收入分组的有关数据如表4.9。试计算偏态系数 2.28 12.45 20.35 19.52 14.93 10.35 6.56 4.13 2.68 1.81 4.94 500以下 500~1000 1000~1500 1500~2000 2000~2500 2500~3000 3000~3500 3500~4000 4000~4500 4500~5000 5000以上 户数比重（%） 按纯收入分组（元） 表3-7 1997年农村居民家庭