第20单元 二项式定理7.docVIP

二项式定理 　　一、知识网络 二、高考考点　　1、对二项式定理的掌握与应用：以二项展开式（或多项展开式）中某一项（或某一项的系数）的问题为主打试题；　　2、对二项展开式的性质的掌握与应用：二项展开式中二项式系数的和与各项系数的和；组合多项式的求和等问题。　　三、知识要点　　1、定义　　 ，这一公式表示的定理叫做二项式定理，其中　　（1）公式右边的多项式叫做 的二项展开式；上述二项展开式中各项的系数 叫做二项式系数，第r+1项叫做二项展开式的通项，用 表示；　　（2） 叫做二项展开式的通项公式。　　2.认知　　（1）二项展开式的特点与功能　　（Ⅰ）二项展开式的特点　　①项数：二项展开式共n+1（二项式的指数+1）项；　　②指数：二项展开式各项的第一字母a依次降幂（其幂指数等于相应二项式系数的下标与上标的差），第二字母b依次升幂（其幂指数等于二项式系数的上标），并且每一项中两个字母的系数之和均等于二项式的指数n；　　③系数：各项的二项式系数下标等于二项式指数；上标等于该项的项数减去1（或等于第二字母b的幂指数；　　（Ⅱ）二项展开式的功能　　注意到二项展开式的各项均含有不同的组合数，若赋予a，b不同的取值，则二项式展开式演变成一个组合恒等式。因此，揭示二项式定理的恒等式为组合恒等式的“母函数”，它是解决组合多项式问题的原始依据。　又注意到在 的二项展开式中，若将各项中组合数以外的因子视为这一组合数的系数，则易见展开式中各组合数的系数依次成等比数列。因此，解决组合数的系数依次成等比数列的求值或证明问题，二项式公式也是不可或缺的理论依据。　　（2）二项式系数的性质　　（Ⅰ）对称性：在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等。　　（Ⅱ）单调性：二项式系数（数列）在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间（项）取得最大值。其中，当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数 最大；当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数 ， 相等，且最大。　　（Ⅲ）组合总数公式： 　即二项展开式中各项的二项式系数之和等于 　　（Ⅳ）“一分为二”的考察：二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即 　　四、典型例题　　例1、 已知二项式 展开式中，末三项的系数依次成等差数列，求此展开式中所有的有理项。　　解：二项展开式的通项公式为 　　由此得二项展开式中末三项的系数分别为 ， ， 　　依题意得 　　注意到这里 ，故得n=8　∴ 　　设第r+1项为有理项，则有x的幂指数 为整数，　　∴ r=0，4，8，　　 ∴ 这里T1，T5，T9为有理项，　　又由通项公式得：　　 ，　　 ，　　 　　∴ 所求二项展开式中的有理项分别为 ， ， 　　点评：二项展开式中关于某些项或某些项的系数问题，一般都要运用通项公式。若 （λ为相对常数，x为变量），则当g(n,r)为自然数时 为整式项；当g(n,r)为整数时 为有理项。　　例2、 已知 的展开式中奇数项的二项式系数之和等于512，试求：　　（1）二项式系数最大的项；　（2）系数的绝对值最大的项；　（3）系数最大的项。　　解：由题意得 　∴n=10　　∴二项展开式的通项公式为 　　（1）　∵n=10，　∴二项展开式共11项　∴二项展开式的中间一项即第六项的二项式系数最大　　又 　∴所求二项式系数最大的项为 　　（2）设第r+1项系数的绝对值 最大，　 则有 　　 　 　 解之得 ，注意到 ，　　故得r=3　∴ 第4项系数的绝对值最大　∴ 所求系数绝对值最大的项为 　　（3）由通项公式的特征可知，系数最大的项应在项数为奇数的项内，　即在r取偶数的各项内　又r取偶数0，2，4，6，8，10时，相应的各项系数分别为 ， ， ， ，， 　　即分别为1， ， ， ， 由此可知，系数最大的项为第5项(r=4)，即 　　点评：（1）解决二项式问题要注意区分两种系数：一种是某一项的系数，按通常的多项式系数去理解、认定；一种是某项的二项式系数，仅指这一项中所含的那个组合数。二者在特殊情况下方为同一数值。　　（2）这里 展开式中系数绝对值最大的项，实际上是 展开式中系数最大的项，必要时可适时转化。　　（3）本题解法“一题两制”：对于（2），我们运用一般方法进行推导；对于（3），我们运用认知、列举、比较的方法导出目标。当指数n数值较小时，（3）的解法颇为实用。　　例3、 已知a0，b0，2m+n=0， ，且在 的展开式中系数最大的项是常数项，求 的取值范围。　　解：设二项展开式中 为常数项， 　　∴ 依题意令 　　 ①　　 则将已知式 代入①得 　　　　 ②　　注意到这里 ，由②得r=4　　∴ 展开式中