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第2章极限（Limits）2
第 2 章
極限 (Limits)
目錄
2.1 極限的直觀 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 單側, 在無限遠之極限及無窮極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 極限的性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 極限之綜合例題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5 極限的定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6 漸近線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.7 連續性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.8 中間值定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
(1) 介紹極限的直觀意義
(2) 介紹各種極限的定義, 及一些計算技巧
(3) 圖形之漸近線
(4) 函數的連續性及中間值定理
2.1 極限的直觀
變化率
定義 2.1.1. y = f (x) 在 x [x , x ] 上的平均變化率(average rate of change) 為 ∆y =
1 2 ∆x
f (x2 )f (x1) = f (x1+h)f (x) , h = x2 x1 。
x2 x1 h
例 2.1.2. 一顆球從 450 公尺高的 CN 塔上放下,
(1) 求它在前 5 秒的平均速度。
(2) 求它在第 5 秒到第 6 秒間的平均速度。
(3) 求它在第 5 秒的速度。
例 2.1.3. 討論拋物線 y = x2 在點 P (1, 1) 之切線的斜率。
17
第 2 章 極限 2.1 極限的直觀
極限的直觀
例 2.1.4. (1) 討論 f (x) = 3x+4 在 x = 2 附近的行為。
x+5
(2) Heaviside 函數定義為 H (t) = 0 if t 0; 討論在 t = 0 附近的行為。
1 if t 0,
(3) 令
(a) f (x) = x2 1 ,
x1
x2 1 x = 1
(b) g (x) = x1
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