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第五章 常微分方程初值问题 引言 基本概念 Euler方法及其改进 §1 引言 * * 1. 常微分方程的定解问题与应用 应用：自然科学领域， 如物理； 工程技术问题， 如石油勘探。 为已知的，该区域人口的自然增长率为 。人口的增长与人口的 常微分方程的定解问题主要有初值问题和边值问题两大类，我 们仅考虑初值问题。 实例： 马尔萨斯人口模型：假设某特定区域在 时刻的人口 总数成正比，所以t时刻的人口总数 满足如下的微分方程： 一般地，称这样的方程为模型方程。 2. 常微分方程的解法： (1)解析法： 给出精确解析解。 只适合少数简单情况 。 (2)近似解法： 给出解的近似表达式。 如级数法,逐步逼近法。 (3)数值方法： 给出方程在离散点上的近似解。它适合计算机 求解,应用广泛,具有理论应用价值。 3.常微分方程初值问题的数值方法（理论和计算方法） 单步法 Euler方法 Taylor方法和Runge-Kutta方法 多步法 Adams方法和一般线性多步法 线性多步法的收敛性与稳定性 §2 基本概念 一、常微分方程初值问题的一般提法 问题: 求函数 满足 其中 为已知函数, 是已知值. (可能是观察值或实验值) 基本条件: 设 (2)f(x,y)在D上关于变量y满足Lipschitz连续条件： (1)f(x,y)在D上连续； 其中L为Lipschitz常数。 定理1 若f(x,y)在D上满足基本条件,一阶常微分方程初值问题 式(1),(2)对任意给定的 存在唯一解且在[a,b]上连续可微. (2) (1) (3) 关于解y(x)的适定性： 定义1 方程(1),(2)的解y(x)称为适定的, 若存在常数 对任意满足条件 常微分方程 (1),(2) 上各 加一个摄动(扰动)项. 存在唯一解z(x),且有 初值问题： 摄动(扰动)误差 定理2 若f(x,y)在D上满足基本条件,则微分方程(1),(2) 的解y(x)是适定的. (1)适定问题的解y(x)连续依赖于(1)式右端的f(x,y)和初值。 或者说解y(x)关于(1)式右端的f(x,y)和初值稳定. 注: (2)假设f(x,y)在D上满足基本条件, 从而方程(1),(2)的解 y(x)存在且适定. (4) 二、 初值问题数值解的基本概念 因为初值问题的数值解法是通过微分方程离散化而给出解在某些 离散点上(节点上)的近似值， 为了讨论问题方便,引入以下概念。 在 上引入节点 常用等步长: 则有 (1)，(2)的准确解记为y(x), 求初值问题数值解的方法是步进法, 即逐个节点计算,由 称为步长。 的近似解记为 步进法 单步法: 多步法: 仅仅由 计算 计算 共用到l个值. 即 称为l步法。 单步法与多步法的区别: (1)计算方面: l步方法只用于 的计算, 的计算 要用其它方法。 (2)理论分析: 单步法比 的多步法容易分析(稳定性). (3)选步长方面: 单步法容易改变步长. (4)精度: 多步法精度高一些. 单步法与多步法又都有显式方法和隐式方法之分.计算公式依 次可写成: 显式单步法: 隐式单步法: 该式右端项含有 因此若求 需要解方程。 注: 显式多步法: 隐式多步法: 线性多步法: 注: (9)关于 都是线性的。 其中 是独立于k和f 的常数。 (9)是显式 (右端不含有 )； 则(9)是隐式的。 (5) (6) (7) (8) (9) §3 Euler方法 考虑问题 特点： 简单，精度低. 一、显式Euler方法 (折线法) 1.显式欧拉公式 设节点为: 则(1),(2) 的Euler方法为 步长 其中 三、微分方程初值问题的数值解法讨论的问题: 1.方法构造 2.误差分析 3.稳定性 (1) (2) (10) 推导公式: (1) Taylor展开法 将 在 点进行Taylor展开 忽略 这一高阶项, 由于 因此 分别用 近似 得 结合初值条件 , 并 (2) 向前差分近似微分法 向前差商 近似 得 (11) 于是，即得(10)式： (12) (3) 左矩数值积分法 将(1)式两端从 到 积分,得 数值积分采用左矩形公式 , 即 由初始条件亦得(10)式. o 用 近似 得 将近似号改为等号， 近似 并结合初始条件即得(10)式。 2. 几何意义 方程(1),(2)的解曲线 过点 具有斜率 从 出发 以 为斜率作直线段,交 于点 此时 从 出发, 以 为斜率 于点 此时 以次类推.最终到达点 这样得到了一条折线 用折线 作为(1),(2)解曲线 的近似曲线 ， 折线法。 o 过 的解曲线如图示, 具有斜率 作直线段,交 过 的解曲线如图. 它在点 的右侧具有斜率 与过 的解曲线相切. 折线 称为欧拉折线，所以欧拉方法又称为 二、