第三章 多项式插值方法7.ppt

证明 解 4. 插值节点的选取 因此自然提出这样的问题： 解： 5. Hermite插值公式 本节讨论一类具有重结点的多项式插值方法，即Hermite 插值方法。 因为此类插值问题要求在结点处满足相应的导数条条件， 所以它也被称为切触插值问题。 称为ak重密切Hermite插值 为解决插值问题(3.13)，最直接的方法是采用代定系数法， 或者求解由(3.13)所确定的线性方程组。 整个构造步骤如下： 1、确定多项式的最高项次数，就是函数空间的维数； 2、假设一组基函数，列出插值多项式； 3、列出基函数满足的公式（画表），求基函数； 称为 构造基函数方法 余项 解: 余项: 解 三个插值点在一条直线上,所以二次插值退化为一次插值 * 第3章 多项式插值 插值方法是数学分析中很古老的一个分支。等距结点内插公式是由我国隋朝数学家刘焯(公元544-610年)首先提出的;而不等距结点内插公式是由唐朝数学家张遂(公元683—727年)提出的。这比西欧学者相应结果早一千年。 插值方法在数值分析的许多分支(例如, 数值积 分, 数值微分, 微分方程数值解,曲线曲面拟合,函数 值近似计算等等)均有应用. 下面仅以近似计算函数值为例来说明 : x0 x1 x2 x3 x4 x g(x) x0 x1 x2 x3 x4 x g(x) ? f(x) y= f(x) 有时f(x)过于复杂而难以运算, 要用近似函数g(x)来逼近f(x)。 本章只研究多项式插值，亦即g(x)是x的多项式的情形.这不仅仅因为多项式是最简单的函数，而且因为在许多场合，函数容易用多项式近似地表示出来.此外,用多项式作插值函数可满意地解决一系列有应用价值的重要问题.特别是数值积分与数值微分的问题. 插值的基本问题是,寻求多项式 ,使得 1. 多项式插值问题 线性方程组的系数矩阵为 (3.3) 1.1 多项式插值问题: x0 x1 x2 x3 x4 x y= pn(x) 1.2 线性插值（一次插值）问题 x0 x1 该基函数的特点如下： 基函数的思想使得插值多项式形式简洁和易于推广 函数值 、 。 一次插值多项式是插值基函数的线性组合,相应的组合系数是 1.3 二次插值(抛物线插值)问题 同理可得 2. Lagrange插值公式 则插值表达式为 定理: 满足插值条件 的如(3.7)形式的插值多 项式唯一. 定义： 特点:Lagrange插值公式（3.8）具有结构清晰、紧凑的特点， 因而适合于作理论分析和应用.也非常适合于利用计算机 编程计算。 3. 插值余项 *