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电磁场与电磁波 静电场的边值问题 第三章 静电场的边值问题 1. 电位微微分方程 2. 镜像法 33. 直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法 4. 圆柱坐标系中的分离变量法 5. 球坐标系中的分离变量法 1 电磁场与电磁波 静电场的边值问题 33.11 电位微分方程电位微分方程 已知电位已知电位 ϕϕ 与电场强度与电场强度 E 的关系为的关系为 E −∇ϕ 对上式两边取散度，得 2 ∇⋅E −∇ ϕ 对于线性各向同性的均匀介质对于线性各向同性的均匀介质 ，电场强度电场强度EE 的散的散 度为 ρρ ∇∇⋅EE ε 那么那么，，电位满足的微分方程式为电位满足的微分方程式为 2 ρ ∇ϕ − 泊松方程 εε 2 电磁场与电磁波 静电场的边值问题 2 ρ ∇ϕ − ε 对于无源区对于无源区 ，ρρ 00 ，上式变为上式变为 2 ∇ϕ 0 拉普拉斯方程 ′ ρ(r ) 已知分布在V ′中的电荷 在无限大的自由空 间产生的电位为间产生的电位为 ′ 1 ρ(r ) ′ ϕ(r ) 4π ∫V ′ ′d V ε || r −r || 上式为泊松方程在自由空间的特解。 利用格林函数可以求出泊松方程在有限空间的通解利用格林函数可以求出泊松方程在有限空间的通解。 3 电磁场与电磁波 静电场的边值问题 数学物理方程描述物理量随时间和空间的变化特性。 初始条件 定解条件定解条件 边界条件 静电场与时间无关静电场与时间无关