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第三节函数的微分1
第三节 函数的微分 3.1 微分的定义 定义2.3 (81 页): 重要结论:证明不作要求 证明不作要求 说明: 微分的几何意义 微分的几何意义 3.2 基本初等函数的微分公式与微分运算法则 例1、 3.3 微分在近似计算中的应用 微分在估计误差中的应用 误差传递公式 : 内容小结 * 3.2 微分的计算 3.3 微分的应用 3.1 微分的概念 边长由 引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 面积的增量为 关于△x 的线性主部 的高阶无穷小 故 称为函数在 的微分 当 x 在 取 得增量 时, 变到 其 时为 的微分, 若函数 在点 的增量可表示为 ( A 为不依赖于△x 的常数) 则称函数 而 称为 记作 即 定理2.6: 函数 在点 可微的充要条件是 即 在点 可微, 1、函数 证: “必要性” 已知 在点 可微 , 则 故 在点 的可导, 且 在点 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 “充分性” 已知 即 在点 的可导, 则 时 , 所以 时 很小时, 有近似公式 与 是等价无穷小, 当 故当 当 很小时, 则有 从而 导数也叫作微商 切线纵坐标的增量 自变量的微分, 记作 记 设 u(x) , v(x) 均可微 , 则 (C 为常数) 分别可微 , 的微分为 微分形式不变 5. 复合函数的微分 则复合函数 当 很小时, 使用原则: 得近似等式: 特别当 很小时, 常用近似公式: 很小) 证明: 令 得 某量的精确值为 A , 其近似值为 a , 称为a 的绝对误差 称为a 的相对误差 若 称为测量 A 的绝对误差限 称为测量 A 的相对误差限 已知测量误差限为 按公式 计算 y 值时的误差 故 y 的绝对误差限约为 相对误差限约为 若直接测量某量得 x , *
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