第四章 多元正态体均值向量与协差阵的假设检验.pptVIP

第四章 多元正态总体均值向量和协差阵的假设检验 在常用的多元统计分析方法中,常常需要对总体的均值向量和协差阵进行检验,比如,对两个总体做判别分析时,事先需要对两个总体的均值作假设检验,看是否在统计上两个总体的均值有显著性的差异,否者作判别分析就无意义. 假设检验的基本步骤为: 第一节 均值向量的检验 * * 第一步:提出待检验的假设 第二步：给出检验用的统计量及统计量服从的分布 第三步:给定检验水平α，查统计量的分布表，得到临界值，从而得到否定域 第四步：根据样本观测值计算统计量的值，看是否落入否定域。 一、一元正态分布总体均值检验的回顾 （一）单个正态总体均值的检验 设从总体 一元正态总体中抽取样本容量为n的样本，每个样本只观察一个指标，用xi表示，现检验 1.当 已知时，检验用的统计量为 2、当 未知时，检验用的统计量为 （二）两个正态总体均值的比较检验 设从总体 中抽出一个样本 ，从总体 中抽出一个样本 ，要进行的假设检验为 1.两个正态分布总体方差 和 已知时，检验用的统计量 2.两个正态分布总体方差 和 未知，但 （三）多个正态总体均值的比较检验 设有k个正态总体分别为 从k个总体中各自独立的抽取一个样 本：各总体的样本如下： …… 现要检验 检验用的统计量为： （在H0成立时） 其中： 总离差平方和 记： 组间平方和 组内平方和 （一）单个正态总体均值向量的检验 二、多元正态分布总体均值向量的检验 设元正态总体 从总体中抽取容量为 n的样本 现欲检验 1.总体协差阵 已知时均值向量的检验 检验用的统计量为： 2.总体协差阵 未知时均值向量的检验 Hotelling 统计量 例题1：人的出汗多少与人体内部纳和钾的含量有一定的关系，今测20名健康成年女性的出汗多少X1、钠的含量X2和钾的含量X3，其数据如下表： X3 X2 X1 序号 9.4 40.9 5.5 20 11.2 44.1 4.1 19 10.9 52.8 6.5 18 8.2 71.6 4.5 17 7.1 56.4 8.5 16 10.1 13.5 1.5 15 8.4 40.2 4.5 14 9.8 27.8 3.5 13 12.3 58.8 4.5 12 12.7 36.9 3.9 11 11.3 54.1 5.4 10 8.5 47.4 6.7 9 7.6 33.1 7.2 8 14 24.8 2.4 7 7.9 36.1 4.6 6 9.7 55.5 3.1 5 12 53.2 3.2 4 10.9 47.2 3.8 3 8 65.1 5.7 2 9.3 48.5 3.7 1 A=0.05 通过计算 认为样本均值向量与已知均值向量无显著差别。 （二）两个正态总体均值向量的检验 设 为来自元正态总体 容量为 n的样本 为来自元正态总体 容量为 m的样本 且两样本之间相互独立 假定两总体协方差矩阵相等，现对假设 1.有共同已知协方差时，检验用的统计量为 2.有共同未知协方差阵时，检验用的统计量为： （在H0成立时） 调查某市15岁男女中学生若干名，测量其身体发育的三项指标：X1为身高，X2为体重，X3为胸围。检验该市中学15岁男女生身体发育状况有无显著性差别。 女生 男生 X3 X2 X1 序号 X3 X2 X1 序号 12 73.0 46.5 164.2 12 11 72.5 48.0 159.1 11 76.0 52.0 159.6 10 71.0 46.0 164.5 10 70.0 40.0 153.0 9 79.0 55.0 165.2 9 76.0 50.8 154.0 8 72.0 51.0 164.0 8 84.0 49.0 158.0 7 74.0 44.5 154.8 7 86.0 54.7 160.5 6 75.0 44.5 158.3 6 68.0 36.3 144.0 5 63.0 35.0 152.0 5 87.0 50.5 150.0 4 74.0 45.0 155.3 4 73.5 48.5 158.0 3 71.0 38.0 159.0 3 80.0 46.5 153.0 2 87.0 65.0 175.0 2 74.0 44.8 152.0 1 81.0 58.5 171.0 1 给定显著性水平 a=0.05 设两组样本来自来自正态总体分别记为： 两组样本相互独立，共同未知协差阵为 拒绝原假设 （三）多个多元正态总体均值向量的检验 定义1： 若 ，则称协差阵的行列式 为X的广义方差。称 为样本的广义方差。其中： 定义2：若 为Wilks统计量，其所服从的分布是维数为p，第一自由度为n1、第二自由度为n2 。显然， 为两个广义方差之比。