线性代数机算的速度与精度.ppt

线性代数机算的速度和精度 机算中精度和速度的重要性 在用笔算时，通常都用整数矩阵来演示和做题，几乎不涉及误差，也就没有精度问题。至于矩阵计算速度的低下，即使在二、三阶的低价矩阵中，就已暴露无遗，但那从来不是纯粹进行理论探讨的数学家所关心的内容，甚至很怕读者触及这个敏感问题，这是用笔算解矩阵方程的根本弱点。承认这个弱点必然导致计算机的引入和课程的改造。 线性代数进入应用领域，必定要使用计算机，速度和精度两个现实问题就不可避免地摆在我们面前。在这里，我们将注重精度问题，并只着重于MATLAB命令中包含的、或会对计算精度作出提示的问题做一介绍。 1．双精度浮点数的精度 按照IEEE标准，表达一个数需要8个字节，也就是64个二进制位。双精度浮点数η用下式表示 其中M是一个小于一大于1/2的二进制分数，称为尾数，占用52个二进制位表示； 而指数E是一个带符号的二进制整数。占11个二进制位，总共可表示2048个整数，即可以表示从-1023到+1024的数集，它决定了数的动态范围。数的正负号反映在S上，它只占一位。总计1+52+11=64位。 MATLAB中数的精度 浮点数的量化步长可以代表它的相对精度。它是由M的位数决定的。52位二进制数的量化步长是2 -52=2.2204×10 –16。该数的动态范围取决于指数部分。因为2 –1023≈10 –307及21024≈10308。所以MATLAB中数的动态范围为2.2251×10 -308～1.7977×10+308。在MATLAB命令窗中，键入eps, realmin, realmax，系统就会给出上面的几个数。 MATLAB中运算的精度 在做浮点加法、乘法、除法运算时，相对误差可以基本不变。由于多次运算造成误差的积累，MATLAB中的大部分运算结果的误差比eps 要大一些。因此正常情况下（即系统不给出警告时），计算结果至少可以有12位十进制有效数字的可信度。但是减法有时会有问题，如果遇到两个很接近的大数相减，把有效数位中的前N位都消掉了，那么数字的精度就减少了N位。比如12345-12344=1，这两个数具有5位有效数位，但它们的差只有一位有效。 2．高斯消元法中的精度问题——主元交换法（partial Pivoting） 设方程组如下，写成矩阵形式： 用消元法化简增广矩阵C=[A,B] 由此得知 x=10000/10001=0.9999; y=10000/10001=0.9999，这是手算的精确解。 计算机舍入误差造成消元误差 假如我们采用的是一个很粗糙的计算机，只能保持三位有效数字，那么它遇到10001时，只会四舍五入解读为10000。则上面的消元过程将成为： 这个结果将解读为??x=0, y=1，x的误差达到了100%，完全不能采用。如果计算机的精度是N位，其结果虽然不至于完全无用，但也将使有效数位减少4位。 主元太小是造成误差的根源 从计算过程看，其实问题就出在回代过程中出现了相接近的两个大数相减。两个大数出现于把微小的主元0.0001化为1的消元过程中，主元太小是造成误差的根源。如果在做消元法的时候，检查主元行中各个元素，把最大的主元通过列交换放到主元的位置，那样这个问题就可以解决，例如上题中先交换第一行中的两列，可得： 在rref函数中的换主元措施 由此得知 x=10000/10001=0.9999; y=0.9999，这和精确解完全一致，说明只要进行主元最大的列交换。计算精度是可以保证的。 在rref命令中，语句[p,k] = max(abs(A(i:m,j)));就是为了在第i行中，找到绝对值最大的元素A(i,k)，以后再进行列交换。 在MATLAB命令窗中键入： A=[0.0001,1;-1,1],B=[1;0],X=A\B， 得到 X= [0.9999； 0.9999] 键入type rref得出的主要程序代码 while (i = m) (j = n) % Find value and index of largest element in the remainder of column j. [p,k] = max(abs(A(i:m,j))); k = k+i-1; if (p = tol) % The column is negligible, zero it out. A(i:m,j) = zeros(m-i+1,1); j = j + 1; else % Remember column index jb = [jb j]; % Swap i-th and k-th rows. A([i k]