高三复习二面角专题7.docVIP

专题十六 二面角 基础知识回顾 温故知新 线面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个 2.斜线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的夹角，叫做斜线和平面所成的角 (或斜线和平面的夹角). 简称线面角 3.直线与平面所成的角θ的取值范围是： 斜线与平面所成的角θ的取值范围是： 4.二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为、面分别为、的二面角记作二面角．有时为了方便，也可在、内（棱以外的半平面部分）分别取点、，将这个二面角记作．如果棱记作，那么这个二面角记作二面角或． 5．二面角的平面角 在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和,则射线和构成的叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角． 二面角的平面角的大小与点的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱上的点，但为了研究和解决问题的方便，我们一般取特殊点作为点． 范围：[0，π] ★★★高考在考什么 【考题回放】 的底面边长为2，侧棱长为，点E在侧棱上， 点F在侧棱上，且. (Ⅰ)求证： (Ⅱ)求二面角的大小. 2.（2011四川文19）(本小题共l2分) 如图，在直三棱柱ABA1B1C1中． BAC=90°，ABAC=AA1 =1．D是棱上的一 P是AD的延长线与A的延长线的交点，且PB∥平面BDA． (I)求证：CD=CD： (II)求二面角AA1D-B的平面角的余弦值； (Ⅲ)求点C到平面BDP的距离． 3.（2011浙江文20）（本题满分14分）如图，在三棱锥中，，为的中点，⊥平面，垂足落在线段上. （Ⅰ）证明：⊥； （Ⅱ）已知，，，.求二面角的大小. ★★★高考要考什么 【考点透视】 二面角每年必考,作为解答题可能性最大 【热点透析】 ★★★突破重难点 定义法 利用定义作出二面角的平面角，并设法求出其大小 【例1】 如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA⊥α,A∈α,PB⊥β,B∈β. 求∠APB的大小. 寻找平面角 三垂线定理（逆定理）法 三垂线定理 已知 PA、PO分别是平面的垂线、斜线，AO是PO在平面上的射影。，a⊥AO。 求证： a⊥PO 例2 直接利用三垂线定理证明下列各题 (1) PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点 求证：PO⊥BD，PC⊥BD (2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BC⊥AM (3) 在正方体AC1中，求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1 练习：判断下列命题的真假： 三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。 三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角。 【例3】如图，ΔABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M，二面角P—AC—B的大小为45°。求（1）二面角P—BC—A的正切值；（2）二面角C—PB—A的正切值。 三．平移或延长（展）线（面）法：将图形中有关线段或平面进行平移或延长（展），以其得到二面角的两个平面的交线。 【例4】正三角形ABC的边长为10，A∈平面α，B、C在平面α的同侧，且与α的距离分别是4和2，求平面ABC与α所成的角的正弦值。 四．射影公式：由公式S射影=S斜面cosθ，作出二面角的平面角直接求出。运用这一方法的关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求得。 【例5】如图，设M为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面BMD与底面ABCD所成的二面角余弦值的大小。 找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角。 【例6】如图，已知PA与正方形ABCD所在平面垂直，且AB＝PA，求平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小。 六．化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角 【例七】在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别在BB1、DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D． 求证:A1C⊥平面AEF； 若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角(或直角)，则在空间中有定理：“若两条直线分别垂直