“与函数有关的数列不等式”的一种证题模式.pdfVIP

解 ； ¨ ． j9。 ca 9 ～．～ ～ … 12 画 窗 圃团蓟 目蛊∞囤一回匝囤嗵霞 本文拟就对证明 “与函数有关的和式数列不等式”进行探讨 ，总 结 出此类 问题 的一种典型的证 明模 式． 张晋瑞 (四JIJ省蓬溪 中学校) 近几年在高考题和各类模拟题 中，经常会看到有 列不等式”．若结论与数列的积有关，可逐次赋值后再 这样一类与函数有关 的数列不等式 ：从题干来看是 函 用累乘法，或者不等式两边取对数 ，转化为数列的和． 数 问题 ，并且第 (工)问或第 (I)问、第 (1I)问也是函 下面，根据第一步中建立 函数不等式 的四种途径 数问题 ，但最后一问却是数列不等式的证 明题．在这 分类论述 ，并着重分析第二步 中如何对 自变量 进行 里，我们姑且把这样的问题称为 “与 函数有关的数列 赋值 ，以期突破难点． 不等式问题”．对于这类问题，如果仅仅从数列的角度 类型 1：利用 “已证函数不等式”直接证明． 去分析有时会很困难．从命题人的意图来看 ，也是希 例 1 设 厂(z)===in + +bx(zo)在 点 望解答者运用 “联系的观点”来分析，充分利用已知条 件或已得结论 ，将数列(不等式)问题与函数 (不等式) (1，，(1))处的切线为 3z+ 一7—0． 问题联系起来 ，促成问题的转化 ，达到解决问题的 目 (I)求 -厂(z)的解析式 ； 的．这样命题也体现 了对 “化归与转化”数学思想的 (1I)求证 ：厂()≥兰 (当且仅 当z一1时等号 考查． 成立) 经过笔者的研究 ，发现求解 “与 函数有关的数列 不等式问题”有一定规律可循 ，其解答过程的一种典 (Ⅲ)求证 ：一14_1+…+ ln 1+ +… 型模式为 呈螽纂)竺 函数不等式旦 中间 + ． 分析：(工)厂(工)=lnzl+ ； 不等式 结论数列不等式． 第一步 ，基础步．就是 由已知条件或 已得结论得 注：由于本文主 旨在于 “怎样证与 函数有关 的数 到一个关于 自变量 的函数不等式 f(z)～0(其 中 列不等式”，故其他小问只给出答案 ，不给分析过程． “ ～ ”表示 、≥、 、≤这些不等号 ，下同)．而具体得 下文同． 到函数不等式常有以下四种途径 ： (1I)略 ； (1)前问已要求证 明了一个 函数不等式 ； (Ⅲ)由第 (Ⅱ)问知 lnz+ ≥ ，则有 (2)由 “函数最值”得到一个 函数不等式 ； (3)由 “不等式恒成立”得到一个函数不等式 ； in ≥ ， ① (4)由“函数单调性”得到一个函数不等式． (当且仅当 一1时等号成立)我们记要证的结论 第二步 ，关键步．就是对函数不等式 中的 z进行 1 1+ 赋值 ，令 一 ()，从而得到一个关于正整数 的数 十 … + 1n ， ②