偏微分课件（二）行波法.pptVIP

偏微分方程PARTIAL DIFFIERENTIAL EQUATION(P.D.E) 行波法 1. 无界弦的自由振动 物理意义 影响区域、依赖区域、决定区域 2. 无界弦的强迫振动 齐次化原理 （Duhamel原理） 3. 半无界弦的自由振动 4. 半无界弦的强迫振动 6. 三维波动方程的柯西问题 7. 二维波动方程 下面考虑 情形的半无界振动。 作变换 例6： 令 解法二： 由于外力、初始位移以及初始速度均为零， 所以弦振动时波传播只是受到边界点x＝0的影响而向x轴正向传播的右传播波。由此，解具有如下形式 根据边界条件确定任意函数 f： 令 故 规定，当 时 例7： 令 当 当 注意 球对称情形 所谓球对称是指 与 无关，则波动方程可化简为 半无界问题 这是关于 v = r u 的一维半无界波动方程. 一般情形 我们利用球平均法。 从物理上看，波具有球对称性。从数学上看，总希望把高维化为一维情形来处理，并设法化为可求通解的情况。 所谓球平均法，即对空间任一点（x，y，z），考虑 u 在以（x，y，z）为球心，r 为半径的球面上的平均值 其中 为球的半径 的方向余弦， 如把 x, y, z 看作参变量，则 是 r，t的函数，若能 求出 ，再令 则 为此把波动方程的两边在以x，y，z为中心，r为半径的球体 内积分，并应用Gauss公式，可得 （*1） 同时有 由（*1）(*2)可得 （*2） 关于r 微分，得 （*3） 利用球面平均值的定义，（*3）可写成 （*4） * * 波动方程的初值问题（一维） （I） 波动方程 一维波动方程的定解问题 无界弦的自由振动 无界弦的强迫振动 半无界弦的自由振动 半无界弦的强迫振动 三维波动方程的定解问题 二维波动方程的定解问题 球对称情形 一般情形 球面平均法 行波法 降维法 有限弦的振动问题 特征方程为 特征线为 故作线性变换 方程改写为 此即为原方程的通解。 利用初值条件确定函数 F，G 其中 为任意一点，而C为积分常数， 达朗贝尔公式 把定解问题的解表示为左、右行进波相叠加的方法称为“行波法”。 例1： 解：由达朗贝尔公式 例2： 解： 例3： 右传播波 左传播波 波动是以一定的速度 a 向两个方向传播的。 如果在初始时刻 t＝0，扰动仅仅在有限区间 上存在，则经过时间 t 后，扰动传到的范围为 影响区域 定义： 上式所定义的区域称为区间 的影响区域。 定义 区间 称为解在（x，t）的值的依赖区间。 从达朗贝尔公式中可以看出，u(x, t) 仅仅依赖于 中的初始条件。 依赖区间 它是过（x，t）点，斜率分别为 的直线与 x 轴所截而得到 的区间（如右图）。 定义 区间 过 作斜率为 的直线 过 作斜率为 的直线 则 它们与区间 一起围成的三角形区域 中的任意一点 ( x, t ) 的依赖区间都落在区间 内，因此该三角区域称为决定区域。 （I） （II） （III） 叠加原理 定解问题（I）的解 是定解问题（II）的解 与定解问题（III）的解 之和。 问题（II）的解可以用达朗贝尔公式来求解。 故只须考虑求解问题（III）的解。 我们利用齐次化原理来求解问题（III）的解。 设 是（IV） 的解， 则 正是 的解。 （III） 下面来求出（III）的解的表达式 令 （IV）化为 利用达朗贝尔公式可得 于是有 齐次化原理的证明 需要用到参变量积分的求导 定解问题（I）的解 一维非齐次波动方程的 Kirchhoff 公式。 例5： 由例2， 我们先考虑 情形，即一端 x = 0 固定的振动。 希望能利用达朗贝尔公式来求解 为此，我们要作奇延拓 （有时也作偶延拓） 为了得到半无界问题的解，只须限制 当 时， 当 时， 当在 x = 0处有一个自由端，即 则需要作偶延拓。 例 当 当 作奇延拓 考虑