成都理工大学 高数下 重修 PPT D10_4重积分应用.ppt

目录 上页 下页 返回 结束 第四节 曲面的面积 物体的重心 物体的转动惯量 重积分的应用 任一点的切平面与曲面 所围立体的体积 V . 例1. 求曲面 分析: 第一步: 求切平面? 方程; 第二步: 求? 与S2的交线 在xOy面上的投影, 写出所围区域 D ; 第三步: 求体积V . (示意图) 曲面的面积 设光滑曲面 则面积 A 可看成曲面上各点 处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d? , (称为面积元素) 则 故有曲面面积公式 若光滑曲面方程为 则有 即 若光滑曲面方程为 若光滑曲面方程为隐式 则 则有 且 例. 计算双曲抛物面 被柱面 所截 解: 曲面在 xOy 面上投影为 则 出的面积 A . 物体的重心 设空间有n个质点, 其质量分别 由力学知, 该质点系的重心坐标 设物体占有空间域 ? , 有连续密度函数 则 公式 , 分别位于 为 为 即: 采用 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 可导出其重心 将 ? 分成 n 小块, 将第 k 块看作质量集中于点 例如, 令各小区域的最大直径 系的重心坐标就近似该物体的重心坐标. 的质点, 即得 此质点 在第 k 块上任取一点 同理可得 则得坐标： 例6. 一个炼钢炉为旋转体形, 剖面壁线 的方程为 内储有高为 h 的均质钢液, 解: 利用对称性可知质心在 z 轴上， 采用柱坐标, 则炉壁方程为 因此 故 自重, 求它的重心. 若炉 不计炉体的 其坐标为 物体的转动惯量 设物体占有空间区域 ? , 有连续分布的密度函数 该物体位于(x , y , z) 处的微元 因此物体 对 z 轴 的转动惯量: 对 z 轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故 连续体的转动惯量可用积分计算. 类似可得: 对 x 轴的转动惯量 对 y 轴的转动惯量 对原点的转动惯量 解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴, 则 球体的质量 例.求密度为? 的均匀球体对于过球心的一条轴 l 的 设球所占 域为 (用球坐标) 转动惯量. 目录 上页 下页 返回 结束