拉普拉斯变换数学方法.ppt

* * * * * * * * 控制工程理论基础 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 * * 提纲 2.1 复数和复变函数 2.2 拉氏变换与反拉氏变换的定义 2.3 典型时间函数的拉氏变换 2.4 拉氏变换的性质 2.5 拉氏反变换的数学方法 2.6 用拉氏变换解常微分方程 * * 拉普拉斯（Laplace）变换，简称拉氏变换。是分析研究线性动态系统的有力工具。 时域的微分方程 复数域的代数方程 系统分析大为简化 直接在频域中研究系统的动态性能 拉氏变换 * * 引言 复数和复变函数 （1）复数的概念 其中， 均为实数。 为虚单位。 （2）复数的表示法 点表示法 向量表示法 三角函数表示法 指数表示法 * * 引言 复数和复变函数 （3）复变函数的概念 为自变量。 * * 例： * * 当s＝z1,…,zm时，G(s)=0，则称z1,…,zm 为G(s)的零点； 当s＝p1,…,pm时，G(s)=∞，则称p1,…,pm 为G(s)的极点。 * * 2.2 拉氏变换与拉氏反变换的定义 1、拉氏变换 有时间函数f(t)，t≥0，则f(t)的拉氏变换记作： L[f(t)]或F(s)，并定义为： (2－1) f(t)的拉氏变换F(s)存在的两个条件： （1）在任一有限区间上， f(t)分段连续，只有有限个间断点； （2）当t→∞时， f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即满足： 该条件使得积分绝对值收敛。 * * 2.2 拉氏变换与拉氏反变换的定义 2、拉氏反变换 已知f(t)的拉氏变换F(s)，求原函数f(t) 的过程称作拉氏反变换，记作： 定义为如下积分： 其中：s为大于F(s)所有奇异点实部的实常数。 (2－2) * * 2.3 典型时间函数的拉氏变换 1 单位阶跃函数 定义为： 单位阶跃函数的拉氏变换为： * * 2.3 典型时间函数的拉氏变换 2 单位脉冲函数 定义为： 单位脉冲函数的重要性质： 单位脉冲函数的拉氏变换为： * * 2.3 典型时间函数的拉氏变换 3 单位斜坡函数 定义为： 单位斜坡函数的拉氏变换为： * * 2.3 典型时间函数的拉氏变换 4 指数函数 定义为： 指数函数的拉氏变换为： * * 2.3 典型时间函数的拉氏变换 5 正弦函数 用欧拉公式表示为： 其拉氏变换为： 6 余弦函数 用欧拉公式表示为： 其拉氏变换为： * * 2.3 典型时间函数的拉氏变换 7 幂函数（作业） 其拉氏变换为： 例： 常用时间函数的拉氏变换表，可通过直接查表求时间函数的拉氏变换。 * * 2.4 拉氏变换的性质 1. 线性性质－线性变换 (2-3) * * 2.4 拉氏变换的性质 2. 实数域的位移定理－延时定理 (2-4) 其中f(t-a)是函数f(t)在时间上延迟a秒的延时函数，且： * * 例2.3 图2－10所示方波的拉氏变换。 图示方波函数表达为： 利用单位阶跃函数的拉氏变换，以及拉氏变换的线性性质和延时定理： * * 例2.4 求图2－11所示三角波的拉氏变换。 图示三角波函数表达为： 利用单位斜坡函数的拉氏变换，以及拉氏变换的线性性质和延时定理： * * 2.4 拉氏变换的性质 3. 周期函数的拉氏变换 设f(t)是以T为周期的周期函数，即： 则f(t)的拉氏变换为： * * 2.4 拉氏变换的性质 4. 复数域位移定理(也称衰减定理) * * 2.4 拉氏变换的性质 5. 相似定理（也称尺度定理） * * 2.4 拉氏变换的性质 6. 微分定理 7. 积分定理 * * Back 8 终值定理 原函数f(t)的稳态性质 sF(s)在s=0邻域内的性质 * * Back 9 初值定理 * * 2.4 拉氏变换的性质 10. tf(t)的拉氏变换 11. f(t)/t的拉氏变换 * * 2.4 拉氏变换的性质 12. 卷积定理 函数f(t)和g(t)的卷积定义为： 拉氏变换的卷积定理：若 函数f(t)和g(t)满足拉氏变换存在的条件，则f(t)和g(t)的卷积的拉氏变换一定存在，且： 其中，函数f(t)和g(t)满足：当t0时， f(t)=g(t)=0 * * 1. 定义：从象函数F(s)求原函数f(t)的运算称为拉氏反变换。记为 。 由F(s)可按下式求出 式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。