拉普拉斯变换概念.ppt

* 第九章 拉普拉斯变换 * 第九章 拉普拉斯变换 §9.1 Laplace变换的概念 第九章 Laplace 变换 §9.2 Laplace 变换的性质 §9.1 Laplace 变换的概念 §9.3 Laplace 逆变换 §9.4 Laplace 变换的应用 §9.1 Laplace 变换的概念 一、Laplace 变换的引入 二、Laplace 变换的定义 三、存在性定理 四、几个常用函数的 Laplace 变换 一、Laplace 变换的引入 1. Fourier 变换的“局限性”？ 当函数 满足 Dirichlet 条件，且在 上绝对 可积时，便可以进行古典意义下的 Fourier 变换。 由于绝对可积是一个相当强的条件，使得一些简单函数 (如常数函数、线性函数、正弦函数与余弦函数等等)的 Fourier 变换也受到限制。 一、Laplace 变换的引入 1. Fourier 变换的“局限性”？ 广义 Fourier 变换的引入，扩大了古典 Fourier 变换的适 用范围，使得 “缓增” 函数也能进行 Fourier 变换，而且 将周期函数的 Fourier 级数与 Fourier 变换统一起来。 广义 Fourier 变换对以指数级增长的函数如 等 仍然无能为力；而且在变换式中出现冲激函数，也使人 感到不太满意。 一、Laplace 变换的引入 1. Fourier 变换的“局限性”？ 在工程实际问题中，许多以时间 t 为自变量的函数( 比如 起始时刻为零的因果信号等)在 t 0 时为零，而有些甚至 在 t 0 时根本没有意义。 因此在对这些函数进行 Fourier 变换时，没有必要( 或者 不可能)在整个实轴上进行。 t f (t) O t f (t)φ(t) O 基本想法 使得函数在 t 0 的部分补零(或者充零)； 使得函数在 t 0 的部分尽快地衰减下来。 (1) 将函数 乘以一个单位阶跃函数 ， (2) 将函数再乘上一个衰减指数函数 ， 这样，就有希望使得函数 满足 Fourier 变换的条件，从而对它进行 Fourier 变换。 一、Laplace 变换的引入 2. 如何对 Fourier 变换要进行改造？ 将上式中的 记为 s， 就得到了一种新的变换： 记为 变量 s 的实部 足够大。 实施结果 一、Laplace 变换的引入 2. 如何对 Fourier 变换要进行改造？ 注意 上述广义积分存在的关键： 二、Laplace 变换的定义 s 的某一区域内收敛， 即 如果对于 则称 为 的 Laplace 变换 相应地，称 为 的 Laplace 逆变换或像原函数， 设函数 是定义在 上的实值函数， 定义 复参数 积分 在复平面 记为 或像函数， 记为 的 Laplace 变换就是 的 Fourier 变换。 注 P213 定义 9.1 Laplace简介 例 要点 进行积分时，确定 s 的取值范围，保证积分存在。 P213 例 9.1 P214 例 9.2 P216 例9.3 若存在，收敛域(或者存在域)如何？有何特点？ 从上述例子可以看出 (1) 即使函数以指数级增长，其 Laplace 变换仍然存在； (2) 即使函数不同，但其 Laplace 变换的结果可能相同。 (2) Laplace 逆变换如何做？是否惟一？ (1) 到底哪些函数存在 Laplace 变换呢？ 问题 三、存在性定理 则象函数