拉普拉斯变换应用及综合举例.ppt

§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 三、利用 Matlab 实现 Laplace 变换 一、求解常微分方程(组) 二、综合举例 * 一、求解常微分方程(组) 步骤 得到象函数 求解 微分方程(组) 象函数的 代数方程(组) Laplace 正变换 微分方程(组) 的解 Laplace 逆变换 (1) 将微分方程(组)化为象函数的代数方程(组)； (2) 求解代数方程得到象函数； (3) 求 Laplace 逆变换得到微分方程(组)的解。 工具 对方程两边取 Laplace 变换，有 (2) 求 Laplace 逆变换，得 解 (1) 令 代入初值即得 P218 例9.6 对方程两边取 Laplace 变换，并代入初值得 (2) 求 Laplace 逆变换，得 解 (1) 令 求解此方程得 对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得 解 (1) 令 求解得 整理得 P229 例9.19 解 (1) 令 求解得 (2) 求 Laplace 逆变换，得 对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得 解 (1) 令 求解得 (2) 求 Laplace 逆变换，得 如图， 解 由于 利用线性性质及延迟性质有 1 1 函数 可写为 二、综合举例 P231 例9.21 对方程两边取 Laplace 变换，并代入初值有 解 (1) 令 (2) 求 Laplace 逆变换，得 对方程两边取 Laplace 变换有 (2) 求 Laplace 逆变换，得 解 (1) 令 整理得 对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得 解 (1) 令 求解得 解 (1) 令 求解得 (2) 求 Laplace 逆变换，得 对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得 解 (1) 令 解 (1) 令 (2) 求 Laplace 逆变换，得 (2) 令 (3) 求 Laplace 逆变换，得 解 (1) 由于 因此原方程为 在方程两边取 Laplace 变换得 P232 例9.24 (跳过?) 求 Laplace 逆变换，得物体的运动方程为 根据 Newton 定律有 解 设物体的运动方程为 在方程两边取 Laplace 变换得 令 P230 例 9.20 求解此方程得 求Laplace逆变换，得 设有如图所示的 R 和 L 串联电路，在 时刻接到直流 例 K E L R 电势 E 上，求电流 由 Kirchhoff 定律知， 解 满足方程 在方程两边取 Laplace 变换得 令 P233 例9.25 位置 处开始运动， 的外力为 。 例 质量为 m 的物体挂在弹簧系数为 k 的弹簧一端(如图) 若物体自静止平衡 求该物体 的运动规律 ，作用在物体上 解 (1) 由 Newton 定律及 Hooke 定律有 即物体运动的微分方程为 (跳过?) 解 (1) 对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得 (2) 令 记 有 当 具体给出时，即可以求的运动方程 并利用卷积定理有 (3) 由 解 利用卷积定理有 当 具体给出时，即可以求的运动方程 (3) 由 此时 可见，在冲击力的作用下，运动为正弦振动， 振幅为 角频率为 称 为该系统的自然频率或固有频率。 设物体在 时受到冲击力 例如 A 为常数。 在数学软件 Matlab 的符号演算工具箱中，提供了专用函数 来进行 Laplace 变换与 Laplace 逆变换。 (1)