插值、微分与积分.ppt

3 插值、微分和积分 3.3.3 牛顿-科特斯公式 3.3 数值积分法 用n次拉格朗日插值多项式 代替 积分，得到积分公式 —科特斯系数 3 插值、微分和积分 3.3.3 牛顿-科特斯公式 3.3 数值积分法 科特斯系数 3 插值、微分和积分 3.3.4 复化求积公式 3.3 数值积分法 求积节点的增加可以提高求积精度，但节点较多时会导致牛顿-科特斯公式出现不稳定，常用的求积公式 。在实际计算中，为提高计算精度，通常将积分区间划分为若干个小区间，对每个小区间分别求积分，再将积分结果累加得到整个区间的积分值，称为复化求积方法。 3 插值、微分和积分 3.3.4 复化求积公式 3.3 数值积分法 1. 复化梯形公式 将区间 分为 等分，节点 对小区间 运用梯形公式求积分有 将各小区间积分值累加，得到复化梯形公式为 3 插值、微分和积分 3.3.4 复化求积公式 3.3 数值积分法 2. 复化辛普森公式 区间 的等分数 为偶数，节点个数为奇数 。对于三个节点 二等分的小区间运用辛普森公式求积分有 复化辛普森公式为 3 插值、微分和积分 3.3.4 复化求积公式 3.3 数值积分法 例题3-3 某实验测得一组数据如下 试用复化辛普森求积公式计算 的值。 3 插值、微分和积分 3.3.4 复化求积公式 3.3 数值积分法 练习： 函数 的形式未知，由实验知 、 的如下数据： 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.54 1.66 1.81 1.97 2.15 2.35 2.58 2.83 3.11 试用复化梯形公式和复化辛普森求积公式计算 的值。 3 插值、微分和积分 3.3 数值积分法 本章学习要求 1.掌握拉格朗日分段线性插值及二次插值方法，理解拉格朗日高次插值，理解二元插值和三次样条插值的基本思路，能够利用MATLAB函数进行调用求解； 2.掌握插值型数值微分方法（两点公式和三点公式） 3.掌握数值积分的梯形公式和辛普森公式。 3 插值、微分和积分 3 插值、微分和积分 实例 化工中很多物性数据是以列表函数的形式给出的，即只给出有限个离散点上的数值，如需其它点上的数值，要采用插值法来确定。 3.1 函数插值 已知熔盐在423K~473K的密度和黏度如下表所示，估计450K时的密度和黏度。 3.1 函数插值 求解思路 3 插值、微分和积分 插值：在所给函数表中再插进一些所需要的中间值。 基本思路：设法构造某个简单函数y=p (x)，作为f (x)的近似表达式，然后计算p (x)的值以得到f (x)的近似值。近似函数为代数多项式时称为代数插值法。 3.1 函数插值 求解思路 3 插值、微分和积分 代数插值的描述： 设函数y=f (x) 在区间[a,b]上连续，且已知它在[a,b] 的n+1个不同的点x0, x1, x2, …, xn上取值为y0, y1, y2, …, yn ，即f (xi)=yi (i=0, 1, 2, …, n)，构建一个次数不超过n的代数多项式pn (xi)= a0 + a1x+ a2x2 + a3x3 +… + anxn，使满足pn (xi)= yi (i=0, 1, 2, …, n)。 pn (xi)称为函数f (x) 的插值多项式。 满足上面条件的n次插值多项式是唯一的。 3.1 函数插值 求解思路 3 插值、微分和积分 在插值节点处 ， 但在其它点处误差较大。 f (x)称为被插函数。 全节点插值 分段插值 插值方式： 3.1 函数插值 3.1.1 拉格朗日多项式插值 3 插值、微分和积分 已知 、 两点的函数值为 、 ， 构造一个线性函数 ，使该函数通过已知的两点， 即满足 1. 线性插值（两点插值） 为通过两点 、 的直线，可分别 用点斜式和两点式来表示 点斜式 两点式 3.1 函数插值 3.1.1 拉格朗日多项式插值 3 插值、微分和积分 1. 线性插值（两点插值） 令 满足 称 和 为线性基本插值多项式或线性插值基函数。 3.1 函数插值 3.1.1 拉格朗日多项